射影直線

体 K 上の射影直線 P¹(K) の各点は斉次座標（英語版）（の同値類）によって表される。これは K の同時には零にならない元の対

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$

として書かれ、この形の二つの対に対して一方が他方の非零定数倍となるならば同値:

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}]\quad (\exists \lambda \neq 0)}$

というものである。

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P¹(K) は「直線」K を無限遠点で延長したものと同一視することができる。より具体的には、直線 K は P¹(K) の {[x : 1] ∈ P¹(K)  |  x ∈ K} なる部分集合と同一視され、これは「無限遠点」 ∞ = [1 : 0] をただ一点だけ除く全ての P¹(K) の各点を被覆する。

この標準的な埋め込みに従って K 上の算術を、以下のような追加の規則:

${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty ,\quad {\frac {1}{\infty }}=0,}$

${\displaystyle x\cdot \infty =\infty \quad (x\neq 0),}$

${\displaystyle x+\infty =\infty \quad (x\neq \infty )}$

を定めて P¹(K) まで延長することができる。斉次座標に関して書けば、（式中に [0 : 0] が発生しない限りにおいて）

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}:x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}]}$

が成り立つ。

実数体 R 上の射影直線を実射影直線と呼ぶ。これは実数直線 R = R¹ に理想化された一つの無限遠点 ∞ を付け加えたものとしても考えられ、R¹ の両端点は無限遠で接合されて閉路（位相的な意味での円周）を成す。

これは例えば、実平面 R² の各点を単位円周の上への射影して対蹠点（英語版）を同一視することで得られる。群論の言葉で言えば、円周群をその部分群 {1, −1} で割った剰余群である。

実数直線 R¹ に相異なる二つの無限遠点 ∞, −∞ を付け加えて得られる補完数直線の場合と比較せよ。

複素数体 C 上の射影直線を複素射影直線と呼ぶ。複素直線（複素数平面、ガウス平面）C = C¹ に一つの無限遠点 ∞ を付け加えて得られる空間は、位相的には球面となる。故に複素射影直線はリーマン球面とも呼ばれる（ガウス球面と呼ばれることもある）。これはもっとも単純なコンパクトリーマン面（英語版）の例として複素解析、代数幾何学、複素多様体論などで常用される。

q-元からなる有限体 F_q 上の射影直線は q + 1 点からなる。他の全ての側面に関して他の種類の体上の射影直線と何ら変わることはない。例えば、斉次座標 [x : y] を用いれば、このうちの q 点は [a : 1] (a ∈ F_q) の形で得られ、残る無限遠点は [1 : 0] で表される。

極めて一般に、K に係数を持つ射影変換群が射影直線 P¹(K) に作用する。この群はこれら変換が射影的な特性を持つことを強調して PGL₂(K) と書かれる。この作用は推移的であり、したがって P¹(K) は PGL₂(K) の等質空間となる。作用が推移的であるとは、任意の点 Q を別の任意の点 R に写すような射影変換が必ず存在するということである。従って P¹(K) 上の「無限遠点」とは座標系を選んだことによって生じた「人工物」に過ぎないのである。実際、斉次座標（英語版） [X : Y] ~ [λX : λY] は二次元平面の非零な点 (X, Y) が載った一次元部分空間を表すが、射影直線の対称性によって点 ∞ = [1 : 0] は他の点に写されるのだから、それらを区別する必要はない。

より強い事実が成立する。相異なる任意の三点 Q_i (i = 1, 2, 3) が与えられたとき、それを適当な射影変換を選んで他の任意の三点 R_i (i = 1, 2, 3) に写すことができる（三重推移性）。組に属する点の数は、PGL₂(K) は三次元なので、これ以上増やすことができない。即ち、この群作用は鋭三重推移的である。このことの計算論的側面として 複比がある。実際、逆のことが一般化された形で成り立つ: 「体」を「KT-体」（乗法逆元をとる操作を適当な種類の対合に一般化する）に置き換え、「PGL」もそのような場合の射影線型写像に一般化して考えるとき、任意の鋭三重推移的群作用は必ず射影直線への一般化された PGL₂(K) の作用に同型である^[1]。