対称減少再配分

Rⁿ 内のある可測集合 ${\displaystyle A}$ が与えられたとき、その対称再配分 ${\displaystyle A^{*}}$ は次で与えられる。

${\displaystyle A^{*}=\{x\in \mathbf {R} ^{n}:\,\omega _{n}\cdot |x|^{n}<|A|\}.}$

ここで ${\displaystyle \omega _{n}}$ は単位球の体積で、${\displaystyle |A|}$ は ${\displaystyle A}$ の体積である。これは、体積が集合 ${\displaystyle A}$ と等しい原点中心の球を表すことに注意されたい。

等位集合が有限測度を持つような非負の可測函数 ${\displaystyle f}$ の再配分は、次で与えられる。

${\displaystyle f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)\,dt.}$

すなわち ${\displaystyle f^{*}(x)}$ の値は、${\displaystyle \{y:f(y)>t\}}$ の対称再配分の半径が x と等しいような高さ t を与える。この定義には、次のような動機がある。任意の非負の函数 ${\displaystyle g}$ に対して、等式

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:g(y)>t\}}(x)\,dt}$

が成り立つため、上述の定義は等式 ${\displaystyle \mathbb {I} _{A}^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}}$ が成り立つための唯一つの定義となる。

Summarize Timeline Fact Check

函数 ${\displaystyle f^{*}}$ は、等位集合が ${\displaystyle f}$ の等位集合と同じ測度を持つ、すなわち

${\displaystyle |\{x:f^{*}(x)>t\}|=|\{x:f(x)>t\}|}$

が成り立つような対称かつ減少な函数である。${\displaystyle f}$ が ${\displaystyle L^{p}}$ 内の函数であるなら、次が成り立つ。

${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}=\|f^{*}\|_{L^{p}}.}$

ハーディ＝リトルウッドの不等式が成り立つ。すなわち

${\displaystyle \int fg\leq \int f^{*}g^{*}}$

となる。さらにセゲーの不等式（英語版）が成り立つ。すなわち ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ かつ ${\displaystyle f\in W^{1,p}}$ なら、次が成り立つ。

${\displaystyle \|\nabla f^{*}\|_{p}\leq \|\nabla f\|_{p}.}$

対称減少再配分は、順序保存であり、${\displaystyle L^{p}}$ 距離を減少させる。すなわち

${\displaystyle f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}}$

および

${\displaystyle \|f-g\|_{L^{p}}\geq \|f^{*}-g^{*}\|_{L^{p}}}$

が成り立つ。