射影被覆

任意の加群 M はある射影加群 P の全射準同型像である^[1]。

${\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}$

したがって準同型定理より

${\displaystyle P/\ker \pi =M}$

である。 そこで加群 M を ker π が‘最小’になるように選んで、射影加群 P で‘近似’したものを射影被覆という。 より正確には P のすべての部分加群 L に対して

${\displaystyle \ker \pi +L=P\implies L=P}$

が成り立つとき、π : P → M は射影被覆であるという。

R を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。

加群 N の部分加群 K が N の余剰部分加群（superfluous submodule, small submodule）であるとは、すべての N の部分加群 L に対して

${\displaystyle K+L=N\implies L=N}$

が成り立つことをいう^[2]。また全射 π : N → M の核 ker π が N の余剰部分加群であるとき、π は余剰全射（superfluous epimorphism）であるという^[3]。 射影加群 P と加群 M への全射

${\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}$

の組 (P, π) が 射影被覆 であるとは、π が余剰全射であることをいう^[4]。このことを P が射影被覆であるといったり、 π : P → M が射影被覆であるといったりすることもある。

一般に加群の射影被覆が存在するとは限らない^[5]。（けれども、たとえばアルティン環上の加群に対しては存在する^[6]。） もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。

補題^[4]

p : P → M が射影被覆であるとする。もし Q が射影加群で、全射 q : Q → M があれば、 Q = P ⊕ R となる ker q の部分加群 R が存在して、制限 q|_P : P → M は射影被覆である。

p_i: P_i → M_i (1 ≤ i ≤ n) が射影被覆ならば、 (⊕p_i): ⊕P_i → ⊕M_i も射影被覆である^[5]。

P をゼロでない射影加群とする。 射影加群 P がある既約加群の射影被覆である必要十分条件は、 P のゼロでないすべての商加群が直既約であることである^[5]。