小数部分

小数部分を負の数においても定義する際の方法には、さまざまなアプローチがあるものの、統一されていない。非負実数の際と同様の${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor }$ という定義(Graham, Knuth & Patashnik 1992)^[3]や、 ${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor }$ のように小数点の右側の数字とする定義 (Daintith 2004)^[4]、 ${\displaystyle \operatorname {frac} (x)}$を奇関数

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}}$

とする定義(Spanier, Oldham 1987)^[2]もある。ここで、${\displaystyle \lceil x\rceil }$ は ${\displaystyle x}$ 以上のうち最小の整数を返す関数で、切り上げ、天井関数とも呼ばれる。その結果、例えば-1.3の小数部分を考える場合、1つ目の定義では0.7、2つ目の定義では0.3、3つ目の定義では-0.3となる。3つ目の定義による結果は、次の式で表現することもできる。

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$

${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$と「奇関数」の定義を用いることで、任意の実数を整数部分と小数部分の和として一意に分解することができる。ここで、整数部分とは${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$または${\displaystyle \lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$を指す。

小数部分の定義は、さらに複素数へと拡張することができ、次の式で定義される^[2]。

${\displaystyle \operatorname {frac} (z)=\operatorname {frac} (\mathrm {Re} z)+i\operatorname {frac} (\mathrm {Im} z)}$

任意の実数は連分数として本質的に一意に表現することができる。

具体的には、まず表す実数を整数部分と小数部分の和に分解し、小数部分の逆数を取って次の数とする。さらにそれを整数部分と小数部分の和に分解し、小数部分の逆数を取って次の数にする…というように続く。

Summarize Timeline Fact Check

逆数の小数部分を用いた定積分は、次のような値をとる^[2]。

• ${\displaystyle \int _{\frac {1}{n}}^{\frac {1}{n+1}}\operatorname {frac} \left({\frac {1}{x}}\right)dx=\int _{\frac {1}{n}}^{\frac {1}{n+1}}\operatorname {frac} \left({\frac {1}{x}}-n\right)dx=\mathrm {ln} {n+1}-\mathrm {ln} {n}-{\frac {1}{n+1}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {frac} \left({\frac {1}{x}}\right)dx=\lim _{n\to \infty }\left(\mathrm {ln} {n}-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}\right)=\lim _{n\to \infty }(1+\mathrm {ln} {n}-H_{n})=1-\gamma }$（H_nは調和数、γはオイラー定数を表す。）
• ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\operatorname {frac} (x)}{x^{2}}}dx=1-\gamma }$