尖点表現

G を数体 K 上の簡約代数群とし、A を K のアデール環とする。また、Z を G の中心、ω を Z(K)\Z(A)^× から C^× への連続ユニタリ指標とし、アデール群 G(A) 上のハール測度を固定して、G(A) 上の複素数値可測函数 f で以下を満たすもの全体の成すヒルベルト空間を ${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbb {A} ),\omega )}$ と書く。

1. すべての ${\displaystyle \gamma$ ;\in G(K)} に対して、${\displaystyle f(\gamma g)=f(g)}$ である。
2. すべての ${\displaystyle z\in Z(\mathbb {A} )}$に対して、${\displaystyle f(gz)=f(g)\omega (z)}$ である。
3. ${\displaystyle \int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\backslash G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty }$
4. G(A) の任意の真の抛物型部分群に関する任意の冪単根基 U に対して ${\displaystyle \int _{U(K)\backslash U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0}$ を満たす。

この空間を G(A) 上の中心指標 ω を持つ尖点形式全体の成す空間といい、この空間に属する函数を尖点函数と呼ぶ。この空間は g ∈ G(A) の尖点函数 f への作用を

${\displaystyle (g\cdot f)(x)=f(xg)}$

で与えることにより、アデール代数群 G(A) のユニタリ表現になる。中心指標 ω を持つ尖点形式の空間はヒルベルト空間の直和

${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbf {A} ),\omega )={\hat {\bigoplus \limits _{(\pi ,V_{\pi })}}}m_{\pi }V_{\pi }}$

に分解される。ここで和は L2
0(G(K)\G(A), ω) のすべての既約部分表現 に亘ってとるものとし、m_π は正の整数とする（つまり、各既約表現は有限な重複度で現れる）。G(A) の尖点表現 は、表現 (π, V) の、適当な中心指標に対してこのように得られる部分表現をいう。

上記の分解に現れる重複度 m_π が全て 1 に等しい群は、重複度一性を持つという。

• Bernšteĭn, I. N.; Zelevinskiĭ., A. V. (1976), Representations of the group GL(n; F); where F is a local non-Archimedean field, Uspehi Mat. Nauk, 31 
• James W. Cogdell, Henry Hyeongsin Kim, Maruti Ram Murty. Lectures on Automorphic L-functions (2004), Chapter 5.

• 高橋哲也 (1998) (pdf), p進体上の簡約代数群の admissible 表現論入門, Rokko Lectures in Mathematics, 神戸大学理学部数学教室, ISBN 4-907719-04-3 
• 今野拓也 (2004) (pdf), 保型形式入門, http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~takuya/papers/Lecture.pdf  第三章 非アルキメデス局所理論
• 今野拓也 (2008) (pdf), GL2 上の保型形式とL函数, http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~takuya/papers/JLnote.pdf  第16回 整数論サマースクール 報告原稿