群の中心

G の中心はつねに G の部分群となる。実際、

1. Z(G) は G の単位元 e を含む： e の定義から任意の g ∈ G について eg = g = ge ゆえ中心 Z(G) の定義から e ∈ Z(G) である。
2. Z(G) は積について閉じている： x, y がともに中心 Z(G) の元ならば、任意の g ∈ G に対して

   (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy)

   ゆえに xy も Z(G) の元である。

3. Z(G) は逆元について閉じている：x が中心 Z(G) の元ならば gx = xg で、これに左右からひとつずつ x⁻¹ を掛けることにより x⁻¹g = gx⁻¹ が得られるから x⁻¹ ∈ Z(G) である。

群 G から G の自己同型群 Aut(G) への写像 f: G → Aut(G) を f(g) = φ_g で定める。ここで φ_g は

${\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}}$

で与えられる G の自己同型とする。写像 f は群準同型を与え、その核はちょうど G の中心 Z(G) である。また、f の像は G の内部自己同型群と呼ばれ、Inn(G) と書かれる。第一同型定理により

${\displaystyle G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G)}$

なる同型を得る。写像 f の余核 Aut(G)/Inn(G) は外部自己同型群とよばれる群 Out(G) で、これらの群は完全列

${\displaystyle 1\to Z(G)\to G\to \operatorname {Aut} (G)\to \operatorname {Out} (G)\to 1}$

を成す。

• アーベル群 G の中心は G 全体である。
• 二面体群 D_2n の中心は n が奇数のとき自明である。n が偶数のときは、中心は単位元と多角形の 180° 回転からなる。
• 四元数群 Q₈ = {±1, ±i, ±j, ±k} の中心は {±1} である。
• 対称群 S_n の中心は n ≥ 3 ならば自明である。
• 交代群 A_n の中心は n ≥ 4 ならば自明である。
• 一般線型群 GL_n(F) の中心はスカラー行列全体からなる集合である。
• 直交群 O(n, F) の中心は {±I_n} である。
• 零でない四元数全体の成す乗法群の中心は、零でない実数全体の成す乗法群である。
• 類等式を用いれば任意の自明でない有限 p-群の中心が自明でないことが示せる。
• 非可換単純群は中心を持たない。
• 剰余群 G/Z(G) が巡回群ならば G は可換である。