和分差分学

固有函数

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta f(x)=f(x)\\\iff &f(x+1)-f(x)=f(x)\\\iff &f(x+1)=2f(x)\\\iff &\exists C:f(x)=C\cdot 2^{x}\end{aligned}}}$

微分作用素の作用の下で不変な函数が e を底とする指数函数であったことに対応する事実として、差分作用素の作用の下では2 を底とする指数函数が不変である。これを確かめるのは容易い。^[1]

階乗冪函数

下降階乗に関しては単純な規則が存在する。任意の整数 m に対して

${\displaystyle x^{\underline {m}}={\frac {x!}{(x-m)!}}={\begin{cases}\overbrace {x(x-1)\dotsb (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}&{\text{for }}m\geq 0\\[5pt]\underbrace {\frac {1}{(x+1)(x+2)\dotsb (x-m)}} _{|m|{\text{ factors}}}&{\text{for }}m<0\end{cases}}}$

と書くことにすれば、和分差分学における振る舞いを

• ${\displaystyle \Delta (x^{\underline {m}})=mx^{\underline {m-1}}}$
• ${\displaystyle \sum \nolimits _{a}^{b}x^{\underline {m}}\,\delta x={\begin{cases}[{\frac {x^{\underline {m+1}}}{m+1}}]_{a}^{b}&{\text{when }}m\neq -1\\[8pt][H_{x}]_{a}^{b}&{\text{when }}m=-1\end{cases}}}$

のように表すことができる^[2]。ここに H_n は n-番目の調和数である。この意味で、調和数は自然対数の離散版となるものということになる^[1]。${\displaystyle \Delta (x\cdot H_{x}-x)=H_{x}}$ なることも用いた。

積の差分法則と部分和分

連続的な微分積分学における積の微分法則に対応する、差分に関する積の法則が

${\displaystyle \Delta (u(x)v(x))=u(x)\Delta v(x)+v(x+1)\Delta u(x)}$

なる形で成り立つ。シフト作用素 E を Ef(x) := f(x + 1) で定めれば、短く

${\displaystyle \Delta (uv)=u\Delta v+Ev\Delta u}$

と書くこともできる。これを逆に用いて、連続的な部分積分に対応する部分和分の式

${\displaystyle \sum u\,\Delta v=uv-\sum Ev\,\Delta u}$

が得られる。