平滑化スプライン

${\displaystyle \{x_{i},Y_{i}:i=1,\dots ,n\}}$ を観測値とする。モデルは ${\displaystyle Y_{i}=f(x_{i})+\epsilon _{i}}$ で ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ は平均0の独立なノイズ。下記を最小化する形で平滑化スプライン関数 ${\displaystyle {\hat {f}}}$ を推定する。^[1][2]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\{Y_{i}-{\hat {f}}(x_{i})\}^{2}+\lambda \int {\hat {f}}''(x)^{2}\,dx.}$

注意点

• ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ は平滑化パラメータ。データの適合度と曲線の滑らかさのバランスを調整する。決め方の1つに、一般化交差検証で決める方法がある^[3]。
• ${\displaystyle \lambda \to 0}$ の時、スプライン補間に収束する。

• スプライン曲線