幾何平均定理

この定理はユークリッド（紀元前360年頃-紀元前280年頃）『原論』の中で第6巻の命題8の系として記述されている。また、第2巻の命題14で述べられている長方形を正方形に変換する方法とこの方法は実質的に一致しているが、その正当性を示すのには幾何平均定理は用いずに、より複雑な証明を用いている^[1]。

定理の証明:

三角形 △ACD , △ CBD は相似。なぜならば

• 三角形 △ABC, △ACD について$${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;}$$が成立。よって二角相等で、$${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD.}$$
• さらに、三角形 △ABC, △CBD について$${\displaystyle \angle ACB=\angle CDB=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;}$$が成立。よって二角相等で、$${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle CBD.}$$

よって、三角形 △ACD, △BCD はどちらも △ABC に相似、つまり$${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle CBD.}$$

相似性から、辺の長さの比について得られる式を変形して定理が示される^[1]。

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$