従属選択公理

従属選択公理 ― 任意の空でない集合 ${\displaystyle X}$ とその上の全域二項関係 ${\displaystyle R}$ に対して、列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ を全ての ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ に対して ${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$ であるように取れる。

公理${\displaystyle \mathrm {DC} (\aleph _{\alpha })}$ ― 関係${\displaystyle R\subset {\mathcal {P}}(X)\times X}$が、${\displaystyle X}$の部分集合${\displaystyle Y}$が、${\displaystyle \vert Y\vert <\aleph _{\alpha }}$ならばある${\displaystyle x\in X}$が存在して${\displaystyle Y\mathrel {R} x}$とできるとする。このとき、関数${\displaystyle f\colon \aleph _{\alpha }\to X}$で、${\displaystyle (\forall \beta <\aleph _{\alpha })[\{f(\gamma )\vert \gamma <\beta \}Rf(\beta )]}$をみたすものが存在する

定理(ZF) ― 「任意の順序数${\displaystyle \alpha }$について${\displaystyle \mathrm {DC} (\aleph _{\alpha })}$」${\displaystyle \Longleftrightarrow \mathrm {AC} }$