擬距離空間

擬距離空間 ${\displaystyle (X,d)}$ とは、すべての ${\displaystyle x,y,z\in X}$ に対して

1. ${\displaystyle \,\!d(x,x)=0}$.
2. ${\displaystyle \,\!d(x,y)=d(y,x)}$ （対称性）
3. ${\displaystyle \,\!d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ （劣加法性 / 三角不等式）

を満たすような非負の実数値関数 ${\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$ （擬距離と呼ばれる）を備える集合 ${\displaystyle X}$ のことである。

距離空間とは異なり、擬距離空間における各点は識別可能（英語版）である必要はない。すなわち、二つの異なる値 ${\displaystyle x\neq y}$ に対して ${\displaystyle d(x,y)=0}$ が得られることもある。

擬距離は関数解析学の分野においては自然に現れる。実数値関数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ からなる空間 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ と、ある特定の点 ${\displaystyle x_{0}\in X}$ を考える。この点は、${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$ に対して

${\displaystyle \,\!d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|\;}$

で与えられるような擬距離を導く。

ベクトル空間 V に対し、半ノルム p は V 上の擬距離を

${\displaystyle \,\!d(x,y)=p(x-y)}$

のように導く。逆に、同次の推移不変な擬距離は、半ノルムを導く。

擬距離は、双曲型複素多様体の理論においても現れる。小林距離を参照されたい。

擬距離位相とは、開球

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\}}$

全てからなる集合が位相（開集合系）の基底を成すものとして導かれる位相のことである^[1]。位相空間が擬距離化可能であるとは、その空間上に与えられた位相と一致するような擬距離位相を与えることが出来ることを言う。

擬距離と距離の違いは、完全に位相的なものである。すなわち、擬距離が距離であるための必要十分条件は、それが生成する位相が T₀ であることである（すなわち、異なる点が位相的に識別可能）。