斉次多項式

• 斉次多項式は斉次関数を定める。つまり、多変数多項式 P が d 次斉次であることと、係数体のすべての元 ${\displaystyle \lambda }$ に対して

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

が成り立つことは同値である。とくに、P が斉次であれば、すべての ${\displaystyle \lambda }$ に対して

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0}$ が成り立つ。この性質は射影多様体の定義において基本的である。

• 非零多項式は異なる次数の斉次多項式の和に一意的に分解できる。この分解における各斉次多項式を多項式の斉次成分 (homogeneous components) と呼ぶ。
• 斉次多項式の積は斉次多項式になる。
• 斉次多項式を因数分解すると、因数は斉次多項式になる。
• 体（あるいはより一般に環）K 上の多項式環 ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ が与えられると、d 次斉次式全体は一般に ${\displaystyle R_{d}}$ と記されるベクトル空間（あるいは加群）をなす。上記の一意的な分解は、${\displaystyle R}$ が ${\displaystyle R_{d}}$ たちの直和（非負の整数すべてを渡る和）であることを意味する。

ベクトル空間（あるいは自由加群）${\displaystyle R_{d}}$ の次元は n 変数の d 次単項式の個数である（つまり n 変数の d 次斉次多項式の非零項の最大個数である）。それは二項係数

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}}$

に等しい。

非斉次多項式 P(x₁,...,x_n) は新たな変数 x₀ を導入し斉次多項式（^hP と書かれることがある）を次のように定義することによって斉次化することができる:^[2]

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

ここで d は P の次数である。例えば、

${\displaystyle P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7}$

であれば、

${\displaystyle ^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}}$

である。

斉次化された多項式は追加された変数 x₀ を 1 とおくことによって非同次化できる。つまり、

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

代数的形式、あるいは単に形式は、二次形式を任意の次数に一般化する。かつては quantics とも呼ばれた（ケイリーによる用語である）。形式のタイプを特定するには、次数 d と変数 n の個数を与えなければならない。形式がある与えられた体 K 上の形式であるとは、n を形式の変数の個数として、Kⁿ から K への写像であることをいう。

ある体 K 上の n 変数の形式 f が 0 を表すとは、x_i たちのうち少なくとも1つが0に等しくないような元 (x₁, ..., x_n) ∈ Kⁿ が存在して f(x₁,...,x_n) = 0 となることをいう。

実数体上の二次形式が 0 を表すことと定符号でないことは同値である。

• 対角形式（英語版）
• 次数付き代数
• ヒルベルト級数とヒルベルト多項式
• 多重線型形式
• 多重線型写像
• 代数的形式の偏極（英語版）
• シューア多項式
• 微分作用素の表象
• 線型方程式