有限ベクトル空間

E は体 𝕂 上のベクトル空間とする。E ≠ {0} ならば、𝕂 は適当な u ∈ E の生成する一次元部分空間（フランス語版） 𝕂u に等濃 である—これらの間の全単射は 𝕂 に属する各スカラー k を u の左スカラー k-倍 ku に写す写像で与えられる。ゆえに E が有限ならば 𝕂 も有限であり、また含むベクトルの数が有限となるには E は 𝕂 上有限次元でなければならない。

逆に、E が有限体 𝕂 上有限 n-次元ならば、E は数ベクトル空間 𝕂ⁿ に同型であり、その濃度は $${\displaystyle |E|=|\mathbb {K} |^{n}}$$ と評価できる^[1]。

𝕂 を q-元体（元の数が q の有限体）とし E が 𝕂 上 n-次元とすれば、E の非零ベクトルはちょうど qⁿ – 1 個ある。E の基底—n 個の線型独立なベクトルからなる族—は、以下のような手順の有限回の繰り返しで構成することができる:

ゆえに E の基底の総数は $${\displaystyle (q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dotsb (q^{n}-q^{n-1})}$$ となる。同じ理由で、k 個の線型独立なベクトルからなる族の総数が $${\displaystyle (q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dotsb (q^{n}-q^{k-1})}$$ で求まることもわかる。このような族は E の k-次元部分空間を生成し、また任意の k-次元部分空間がこれらの族から生成されることが言えるが、ひとつの k-次元部分空間はその基底のとり方の分だけ重複して数えられることに注意する。よって、羊飼いの補題 により E の k-次元部分空間の総数はガウスの二項係数 $${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{\!q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dotsb (q^{n}-q^{k-1})}{(q^{k}-1)(q^{k}-q)(q^{k}-q^{2})\dotsb (q^{k}-q^{k-1})}}}$$ で与えられる。