有限体積法

有限差分法と有限要素法の両方の特徴を合わせ持つ手法と言える^[4][5]。

解析領域をセル（cell）と呼ばれる小領域に分割し、セルの格子点を中心とする領域であるコントロールボリュームあるいは検査領域D_e を定義する。そして、有限要素法と同様にその離散化には重み付き残差法^[6]を適用する。ただし有限体積法では、コントロールボリュームD_e ごとに、重み関数を 1 として重み付き残差式を離散化する。

${\displaystyle \int _{D_{e}}u^{*}f(u)d\Omega =\int _{D_{e}}f(u)d\Omega =0}$

長所

• 保存方程式をコントロールボリュームで積分するので、この積分領域内の物理量の保存が満足される。コントロールボリュームが重ならないかぎり、領域全体での保存性も満足される。
• 非構造格子など、どのようなタイプの計算格子にも適用できるため、任意形状への適合性が良い^[1]。
• 上式における積分中の微分の近似には中点公式（または中点差分近似^[7]）

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\simeq {\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}\quad (h<<1)}$

が一般に用いられるため、離散化が簡便で有限要素法に比べて計算時間の面で有利である^[7]。なお、微分の近似表現に中点公式などを用いているため、構造格子を用いた場合には、離散化された代数方程式は有限差分法を適用して導かれたそれと一致することがある^[4]。

短所

• 高次精度化が煩雑あるいは困難である^[1][2][3]。有限体積法は3段階の近似（補間、微分、積分）を必要とするために、3次元で2次精度よりも高い精度の方法を実現することが難しい^[1][2][3]。

• Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method, in Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, en:Cambridge University Press.