重み付き残差法

微分方程式の一般形を次のように表す。

${\displaystyle L(u)=f\quad \mathrm {in} \;\Omega }$

また、境界条件についても以下のように表す。

${\displaystyle S(u)=0\quad \mathrm {on} \;\Gamma }$

ここで、${\displaystyle L}$は未知関数${\displaystyle u}$に対する微分作用素を表しており、${\displaystyle S}$は境界条件に関する作用素である。また、${\displaystyle \Omega }$は定義域であり、${\displaystyle \Gamma }$は${\displaystyle \Omega }$の境界を表している。

いま、正しい解である${\displaystyle u(x)}$を線形独立な${\displaystyle N}$個の関数の組、すなわち基底関数${\displaystyle \psi _{k}(x)}$を用いて次のように近似する。

${\displaystyle u\approx U=\sum _{k=1}^{N}\psi _{k}\alpha _{k}}$

ここで、${\displaystyle U(x)}$は${\displaystyle u(x)}$の近似解で、${\displaystyle \alpha _{k}}$は未知のパラメータである。

この近似解${\displaystyle U(x)}$を上記微分方程式の一般形に代入すれば次の関係が得られる。

${\displaystyle r(U)=L(U)-f=\sum _{k=1}^{N}L(\psi _{k})\alpha _{k}-f\quad \mathrm {in} \;\Omega }$

この関数${\displaystyle r}$ は残差と呼ばれており、${\displaystyle r(U)=0}$であれば${\displaystyle U}$は微分方程式の一般形の厳密解である。

この残差${\displaystyle r(U)}$に重み関数${\displaystyle \chi _{i}}$を乗じて解析領域全体で積分した量を重み付き残差として定義し、これを零とすることを考えると、

${\displaystyle \langle \chi _{i},r(U)\rangle =0,\quad i=1,2,\dots ,N}$

が得られる。これは平均的な意味で残差を零にすることを表している。ここで、<・,・>は内積であり、関数${\displaystyle \phi _{i},\phi _{j}}$に対して次式で定義される。

${\displaystyle \langle \phi _{i},\phi _{j}\rangle =\int _{\Omega }\phi _{i}(x)\phi _{j}(x)dx}$

重み付き残差の式は、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\langle \chi _{i},L(\psi _{k})\rangle \alpha _{k}=\langle \chi _{i},f\rangle ,\quad i=1,2,\dots ,N}$

であるので、未知数${\displaystyle u(x)}$に関する微分方程式は未知パラメータ${\displaystyle \alpha _{k}}$に関する代数方程式となる。これを解くことによって近似解${\displaystyle U(x)}$を求めることができる。