有限生成群
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代数学における有限生成群（ゆうげんせいせいぐん、英: finitely generated group）は、適当な有限部分集合 S を生成系とする群 G を言う。すなわち有限生成群 G の任意の元は、S ∪ S−1（有限集合 S とそれに属する元の逆元の集合 S−1 の合併）の有限個の元の積に書ける[1]。
定義により任意の有限群 G は有限生成である（S = G ととればよい）。任意の有限生成無限群は可算でなければならないが、任意の可算群は必ずしも有限生成でない。実際、有理数全体の成す加法群 Q は有限生成でない可算群の例を与える。
有限生成アーベル群
部分群
有限生成群の部分群は必ずしも有限生成に限らない。二元生成自由群 F2 の交換子部分群は有限生成群の有限生成でない部分群の例を与える。
有限生成群の指数有限な部分群は常に有限生成であり、またシュライアー指数公式はそのような部分群に対して必要な生成元の数の上限を与える[4]。
Howson (1954)は自由群の二つの有限生成部分群の交わりがふたたび有限生成となることを示した。より精確には、二つの有限生成部分群の生成元の数をそれぞれ m, n とするとき、それら部分群の交わりは高々 2mn − m − n + 1 個の生成元で生成される[5]。この上界の値はハンナ・ノイマンによって 2(m − 1)(n − 1) + 1 まで著しく改善された（ハンナ・ノイマン予想を参照）。
群の部分群束が昇鎖条件を満足するための必要十分条件は、その群の任意の部分群が有限生成になることである。任意の部分群が有限生成となる群はネーター的であると言う。
任意の有限生成部分群が有限となる群は局所有限であると言う。任意の局所有限群はねじれ群、すなわち任意の元が位数有限となる群である。逆に、任意のねじれアーベル群は局所有限である[6]。