根体

多くの文献において^[2]、根体構成及びその性質は体論において最初の段階で扱うことになるものだが、K 上の既約多項式 P の根 α を添加して得られる K の拡大体 K(α) に特定の名前を付けず、構成及び性質は主に剰余環構成 K[X]/(P(X)) のそれによって達成される。

さらに言えば、別な意味で「根体」あるいは「分解体」という呼称が用いられることがある。ある文献^[3]では、与えられた多項式の根を含む「任意の」拡大体を根体 (corps de rupture) と呼んでいる。この意味では例えば実数体 ℝ も多項式 X³ − 2 の根体になる。また別の文献^[4]は K 上の定数でない多項式 P に対して、P が一次式の積に分解 (split) されるような K 上有限次の任意の拡大を P の「分解体」(corps de rupture) と呼んでいる。これと近い定義で、多項式 P の「分解体」(corps de rupture) を P の根全体の成す集合が K 上生成する体^[5]と定めるものもある^[6]（これは P の最小分解体 (corps de décomposition) と呼ぶのが普通）。

具体的に、K を体、L は K の拡大体で、α は L の元とする。

• K 上で α の生成する中間体（K と α を含む最小の体）を K(α) と書く。これは K の α による単拡大である。
• α が K 上の既約多項式 P の根であるとき、α は K 上代数的であり、またP は α の K 上の最小多項式である。

定義^[7][8]

体 K 上の（既約）多項式 P(X) に関する K 上の根体とは、P(X) の根 a が K 上生成する単拡大体 K(a) を言う。

例えば、K = Q を有理数体、P(X) = X³ − 2 のとき、Q[³√2] は P(X) の根体（のひとつ）になる。多項式の根体は必ずしもその多項式の全ての根を含むわけではない。実際、体 Q[³√2] は P(X) の残り二つの虚根（すなわち、ω を 1 の虚立方根として、ω³√2 および ω^2 3√2）を含まない。

L は K の拡大体で α ∈ L とし、適当な K-係数多項式 Q を用いて Q(α) として書くことができる L の元全体の成す集合、すなわち α の冪たちの K-係数線型結合の全体を K[α] と書けば、これが K と α を含む最小の部分環であることは容易に知れる。K[α] は K と α を含む任意の体に含まれることも明らかである。α が K[X] に属する次数 n の既約多項式 P の根であるとき、

• K[α] の各元 Q(α) は、次数高々 n − 1 の多項式（Q を P で割った剰余）によって一意的に表される（一意性は剰余の一意性からくる）。
• K[α] の各非零元は K[α] において可逆である。実際、そのような元を Q(α) とすると P は既約であるから、K[X] におけるベズーの等式により、適当な多項式 U, V が存在して、U(α)Q(α) + V(α)P(α) = 1 とできるが、いま P(α) = 0 ゆえ、U(α) が Q(α) の逆元を与える。

ゆえに環 K[α] は体を成し、K[α] = K(α) は P の K 上の根体である。さらに言えば、この体の K 上のベクトル空間としての基底は {1, α, α², …, α^n–1} で与えられる（K の任意の拡大体 E は、E の加法と E の元と見た K の元を掛ける操作を K のスカラー倍と見做して K 上のベクトル空間の構造を持つことに注意せよ）。K(α) の K 上の拡大次数 [K(α) : K] はこのベクトル空間としての次元であるから、[K(α) : K] = n は多項式 P の次数に等しい。

前節でみたように P の K 上の根体 K(α) の元を α の次数が P の次数より小さい多項式として表すとき、それらの和、積および逆元は、α の取り方に依らず P のみによって決まる。

• 和は多項式の和;
• 積は多項式の積を P で割った剰余;
• 逆元は拡張ユークリッド互除法で求まるベズーの等式から計算できる。

実は既約多項式 P の K 上の根体は P の根 α を含む K の拡大体の存在を仮定することなく、多項式環 K[X] を P で割った剰余の成す環 K[X]/(P) として構成することができる。P の次数が n ならば、この環は次数高々 n − 1 の多項式全体の成す集合であって、前節に述べた加法および乗法を持ち、それぞれの単位元 0 および 1 が存在する。これによりこの集合は環であって、また P が既約であることからベズーの等式により逆元がとれるから体を成す。この構成において X は P の根となる。

より抽象的に、K[X]/(P) は K[X] を P の生成するイデアル (P) で割った剰余環として定義される。P は既約であるから、(P) は素イデアルであり、さらに K[X] は主環（特にユークリッド環）だから極大イデアル、従って剰余環 K[X]/(P) は体を成す。K[X]/(P) の各剰余類は、次数高々 n − 1 の多項式をただ一つずつ含み、それらを完全代表系として先に述べた構成および計算が得られる。

この体は（K の各元は定数多項式と同一視することにより）K の拡大体で P の根を含むものとして構成されたものである。実際、X の同値類を α = X と書けば、K[X]/(P) = K(α) は P の根体である。

前の節で述べたことは以下のように言い直せることを注意しておく:

• K が体、P が K 上の既約多項式で、L を P の少なくとも一つの根 β を含む K の拡大体とすれば、K[X]/(P) から L への体の準同型（これは必ず単射になる）f が一意的に存在して f(a) = a (∀a ∈ K) および f(X) = β とできる。

実際、K[X] から L への環準同型で、K の元をそれ自身に写し^[9]、かつ X を β に写すものはただ一つであり、P の生成するイデアルはこの準同型の核であるから、準同型定理により、環準同型 f: K[X]/(P) → L で所期の性質を満足するものが得られる。L は体であるから、この f は必ず単射である。これらの性質を用いれば、K[X]/(P) の各元は X の線型結合であるということから、f が X の行き先のみによって決まることがわかる。

この性質は特に、P の K 上の任意の根体が K[X]/(P) に同型となることを保証する（先の記法で書けば、L = K(β) ととって作った上記の準同型の像は K と β を含む L の部分体であるから、それは L 全体に他ならない）。