極集合 From Wikipedia, the free encyclopedia 函数解析学と関連する数学の分野において、あるベクトル空間の与えられた部分集合の極集合（きょくしゅうごう、英: polar set）とは、その双対空間の中のある集合のことを言う。 双対組 ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} が与えられたとき、 X {\displaystyle X} のある部分集合 A {\displaystyle A} の極集合あるいは極とは、次で定義される Y {\displaystyle Y} 内の集合 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} のことを言う。 A ∘ := { y ∈ Y : sup x ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | ≤ 1 } {\displaystyle A^{\circ }:=\{y\in Y:\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}} X {\displaystyle X} の部分集合 A {\displaystyle A} の双極（bipolar）とは、 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} の極集合のことを言う。それは A ∘ ∘ {\displaystyle A^{\circ \circ }} と表記される X {\displaystyle X} 内の集合である。 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} は絶対凸である。 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} ならば B ∘ ⊆ A ∘ {\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ }} である。 したがって ⋃ i ∈ I A i ∘ ⊆ ( ⋂ i ∈ I A i ) ∘ {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}^{\circ }\subseteq (\bigcap _{i\in I}A_{i})^{\circ }} である。ここで集合の等号は必ずしも成立しない。 すべての γ ≠ 0 {\displaystyle \gamma \neq 0} に対して、次が成り立つ： ( γ A ) ∘ = 1 ∣ γ ∣ A ∘ {\displaystyle (\gamma A)^{\circ }={\frac {1}{\mid \gamma \mid }}A^{\circ }} ( ⋃ i ∈ I A i ) ∘ = ⋂ i ∈ I A i ∘ {\displaystyle (\bigcup _{i\in I}A_{i})^{\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }} 双対組 ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} に対し、 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} は Y {\displaystyle Y} 上の弱*位相（英語版）の下で Y {\displaystyle Y} において閉である。 ある集合 A {\displaystyle A} の双極 A ∘ ∘ {\displaystyle A^{\circ \circ }} は、 A {\displaystyle A} の絶対凸包絡集合である。すなわち、 A {\displaystyle A} を含む最小の絶対凸集合である。 A {\displaystyle A} がすでに絶対凸であるなら、 A ∘ ∘ = A {\displaystyle A^{\circ \circ }=A} が成り立つ。 X {\displaystyle X} 内の閉凸錐 C {\displaystyle C} に対し、極錐 は C {\displaystyle C} に対する片側極集合と同値で、次で与えられる。 C ∘ = { y ∈ Y : sup { ⟨ x , y ⟩ : x ∈ C } ≤ 1 } {\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup\{\langle x,y\rangle :x\in C\}\leq 1\}} .[1] 幾何学 幾何学において、極集合は点と平面の間の双対性を意味することもある。特に、ある点 x 0 {\displaystyle x_{0}} の極集合は、 ⟨ x , x 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,x_{0}\rangle =0} を満たす点 x {\displaystyle x} の集合で与えられ、それは極超平面（polar hyperplane）であり、超平面に対する双対関係はその極を与える。 関連項目 極錐 双極定理 参考文献 ↑ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 215. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0 ポテンシャル論における極集合に関する文献： Ransford, Thomas: Potential Theory in the Complex Plane, London Mathematical Society Student Texts 28, CUP, 1995, pp. 55-58. この項目は、解析学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。表示編集 Related Articles
