標準基底

定義により、標準基底は単位ベクトルからなる正規直交系を成す。すなわち、標準基底は順序付けられ（英語版）た正規直交基底になる。

しかし、順序付けられた正規直交基底は必ずしも標準基底ではない。例えば二つのベクトル

${\displaystyle v_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)}$

${\displaystyle v_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)}$

は正規直交する単位ベクトルだが、この正規直交基底は標準基底の定義に合わない。

ある種の無限次元ベクトル空間に対しても、標準基底を考えることができる。例えば、ある体上 n-個の不定元をもつ多項式環において、単項式全体の成す集合は標準基底を与える。

ここまでの例は全て、適当な集合 I（無限集合でもよい）に添字を持つ族

${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}={({(\delta _{ij})}_{j\in I})}_{i\in I}}$

の特別の場合になっている。ここで δ はクロネッカーのデルタ (i = j ならば 1, i ≠ j ならば 0) である。このような族は、集合 I から環 R への写像

${\displaystyle f=(f_{i})}$

で有限個の例外を除く全ての添字に対して値が 0 (R の零元 0_R) であるようなもの全体のなす族としての自由 R-加群

${\displaystyle R^{(I)}}$

の標準基底になる（ただし 1 は R の単位元 1_R と解釈する）。

二次形式 Q: V → R を伴う幾何代数の文脈での標準基底は、ベクトル空間 V を生成する直交基底 {e_i} で、その各元が Q(e_i) ∈ {−1, 0, +1}を満たすという意味で正規化されているものを言う。

• Ryan, Patrick J. (1986). Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27635-7  (page 198)

• Schneider, Philip J.; Eberly, David H. (2003). Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN 1-55860-594-0  (page 112)