正則開集合

位相空間 ${\displaystyle X}$ の正則開集合とは、${\displaystyle X}$ の部分集合であって、その閉包の内部が自身に等しいもののことである。${\displaystyle \operatorname {Int} S}$, ${\displaystyle {\overline {S}}}$, ${\displaystyle \partial S}$ をそれぞれ ${\displaystyle X}$ の部分集合 ${\displaystyle S}$ の内部、閉包、境界とすると、${\displaystyle S}$ が正則開集合であることは ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=S}$ や ${\displaystyle \partial ({\overline {S}})=\partial S}$ が成り立つことと同値である。^[1]

また、${\displaystyle X}$ の正則閉集合とは、その内部の閉包が自身に等しい部分集合のことである。この条件は ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ や ${\displaystyle \partial (\operatorname {Int} S)=\partial S}$ と同値である。^[1]