滑りとねじれのない転がし

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滑りとねじれのない転がし^{[注 1]}^{[注 2]}（英: rolling without slipping or twisting^[1]）とは、 $n$ 次元リーマン多様体を $n$ 次元平面上「滑り」も「ねじれ」もなく転がす事である。

すなわち、 $n$ 次元リーマン多様体 $M$ 上に曲線 $\sigma _{1}(t)$ を取り（図の青の線）、 $\sigma _{1}(t)$ に沿って $M$ を $n$ 次元平面 $\mathbb {R} ^{n}$ 上を「滑ったり」、「ねじれたり」する事なく転がしたときにできる曲線の軌跡を $\sigma _{0}(t)$ とする（図の紫の線）。この $\sigma _{0}(t)$ を $M$ 上のリーマン計量によって記述するのが、「滑りとねじれのない転がし」の問題である。

$\sigma _{0}(t)$ はリーマン計量から定まるカルタン接続により決定する事が知られており、また $M$ 上の $\sigma (t)$ に沿った（レヴィ・チヴィタ接続に関する）平行移動が $\mathbb {R} ^{n}$ 上の平行移動と自然に対応する事が知られている。

以下、本項では特に断りがない限り、単に多様体、関数等といった場合は $C \infty$ 級のものを考える。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考え、多様体は縁のないものを考える。

定義

上では $M$ を $\mathbb {R} ^{n}$ 上転がす場合を考えたが、より一般に、リーマン多様体 $M 1$ を別のリーマン多様体 $M 0$ 上転がす場合の定義を与える。

まず定義を天下り的に与える。

定義 ― $M 0$ 、 $M 1$ をユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{N}$ の $n$ 次元部分多様体とする^{[注 3]}。区間 $I$ から $\mathbb {R} ^{N}$ の合同変換群 $\mathrm {Euc} _{N}(\mathbb {R} )$ へのなめらかな写像

g~:~I\to \mathrm {Euc} _{N}(\mathbb {R} )

が $M 1$ の $M 0$ 上の滑りとねじれのない転がしであるとは、 $M 1$ 上の区分的になめらかな曲線

\sigma _{1}~:~I\to M_{1}

が存在し、

\sigma _{0}(t):=g(t)\sigma _{1}(t)

とすると、任意の $t\in I$ に対し、以下が成立する事を言う^[2]。 $g$ は $\sigma _{1}$ に沿った滑りとねじれのない転がしといい、 $\sigma _{0}(t)$ を $\sigma _{1}(t)$ の $g$ による発展（英: development）という。

「転がし」条件^{[注 4]}：
1. $\sigma _{0}(t)\in M_{0}$
2. $T_{\sigma _{1}(t)}M_{1}=T_{\sigma _{0}(t)}M_{0}$
「滑りなし」条件：
1. ${\dot {g}}(t)g(t){}^{-1}\sigma _{0}(t)=0$
水平方向の「ねじれなし」条件
1. $({\dot {g}}(t)g(t)^{-1})_{*}T_{\sigma _{0}(t)}M_{0}\subset T_{\sigma _{0}(t)}^{\bot }M_{0}$
垂直方向の「ねじれなし」条件
1. $({\dot {g}}(t)g(t)^{-1})_{*}T_{\sigma _{0}(t)}^{\bot }M_{0}\subset T_{\sigma _{0}(t)}M_{0}$

ここで ${\dot {g}}(t)$ は $g(t)$ の $t$ による微分であり、 $T_{\sigma _{i}(t)}M_{i}$ は $M i$ の $\sigma _{i}(t)$ における接ベクトル空間を自然に $\mathbb {R} ^{N}$ の部分空間とみなしたものであり、 $T_{\sigma _{i}(t)}^{\bot }M_{i}$ は $T_{\sigma _{i}(t)}M_{i}$ の直交補空間である。

定義の直観的な意味

定義の各条件の直観的な意味は以下の通りである：

「転がし」条件

「転がし」条件： $M 1$ を合同変換 $g(t)$ で変換したとき、１つ目の条件は $\sigma _{1}(t)\in M_{1}$ が $\sigma _{0}(t)\in M_{0}$ とが重なる事を意味し、2つ目の条件は $M 1$ と $M 0$ とが接する事を意味する^[3]。

「滑りなし」条件

$\sigma _{0}(t)\in M_{0}$ の「無限小合同変換」 ${\tfrac {d}{ds}}g(t+s)g^{-1}(t)|_{s=0}={\dot {g}}(t)g(t)^{-1}$ での $\sigma _{0}(t)$ の移動が $0$ になる事を要請している^[3]。簡単のため時刻 $t 0$ に $\sigma _{0}(t)$ が $\sigma _{1}(t)$ に重なるよう変換した

{\tilde {\sigma }}_{1}(t):=g(t_{0})\sigma _{1}(t)

{\tilde {g}}_{0}(t):=g(t)g(t_{0})^{-1}

を考えると、

{\dot {{\tilde {\sigma }}_{1}}}(t_{0})

={\tfrac {d}{dt}}{\tilde {g}}(t){\tilde {\sigma }}_{0}(t)|_{t=t_{0}}

={\dot {\tilde {g}}}(t_{0}){\tilde {\sigma }}_{0}(t_{0})+{\tilde {g}}(t_{0}){\dot {\tilde {\sigma }}}_{0}(t_{0})

={\dot {g}}(t_{0})\sigma _{0}(t_{0})+{\dot {\sigma }}_{0}(t_{0})

であるので、滑りなし条件は任意の $t 0$ に対し ${\dot {\tilde {\sigma }}}_{0}(t_{0})={\dot {\sigma }}_{1}(t_{0})$ が成立する事と同値であり、したがって $\sigma _{0}(t)\in M_{0}$ の長さ $\int _{0}^{t}\|{\dot {\sigma }}_{0}(t)\|dt=\int _{0}^{t}\|{\dot {\tilde {\sigma }}}_{0}(t)\|dt$ が $\sigma _{1}(t)\in M_{1}$ の長さと等しくなる事と意味する。

もし $\sigma _{1}(t)$ が「滑って」いれば $\sigma _{0}(t)$ と $\sigma _{1}(t)$ の長さが異なってしまうので、上記の条件は滑りがない事を意味すると解釈できる。

水平方向の「ねじれなし」条件

${\tilde {\sigma }}_{1}(t)$ 、 ${\tilde {g}}(t)$ を前述のように取ると、 $T_{{\tilde {\sigma }}_{1}(t_{0})}({\tilde {g}}(t_{0})M_{1})=T_{\sigma _{0}(t_{0})}M_{0}$ である^[4]。したがって水平方向の「ねじれなし」条件は時刻 $t 0$ には $M 0$ に接していた ${\tilde {g}}(t)_{*}(T_{\sigma _{1}(t_{0})}(M_{1}))=T_{{\tilde {\sigma }}_{1}(t)}({\tilde {g}}(t)M_{1})$ が ${\tilde {g}}(t)M_{1}$ の「無限小回転」により鉛直方向にのみ移動する事を保証する。図１のように平面上で自転している物体の場合、平面に水平な微分が生じ、水平方向に「ねじれて」いる事になる。

垂直方向の「ねじれなし」条件

水平方向のねじれなし条件と同様、 ${\tilde {g}}(t)_{*}(T_{\sigma _{1}(t_{0})}^{\bot }(M_{1}))=T_{{\tilde {\sigma }}_{1}(t)}^{\bot }({\tilde {g}}(t)M_{1})$ が ${\tilde {g}}(t)M_{1}$ の「無限小回転」により水平方向にのみ移動する事を保証する。図２では直線（図示せず）の周りを円が回転しているが、この場合、直線に鉛直な方向の微分が残り、垂直方向に「ねじれて」いる事になる。

図１：平面（図示せず）の上を自転している物体。水平方向の微分成分が残る。
図２：鉛直方向の直線（図示せず）の周りを回転する円。直線に垂直な方向の微分成分が残る。

基本的な性質

滑りとねじれのない転がしは一意に存在する：

定理 ― $M 0$ 、 $M 1$ を $\mathbb {R} ^{N}$ に埋め込まれた２つの $n$ 次元完備^{[注 5]}リーマン多様体とし、 $\sigma _{1}~:~I\to M_{1}$ を $M 1$ 上の区分的になめらかな曲線とする。このとき $σ 1$ に沿った $M 1$ の $M 0$ 上の滑りとねじれのない転がし $g~:~I\to \mathrm {Euc} _{N}(\mathbb {R} )$ が一意に存在する^[5]。

よって $g$ の一意性から、 $\sigma _{0}~:~I\to M_{0}$ を $σ 1$ の $g$ による発展とするとき、 $σ 0$ の事を（ $g$ を明示せず） $σ 1$ の発展と呼ぶ。

明らかに以下の「対称律」が成立する：

定理 ― 記号を上と同様に取り、 $\sigma _{0}~:~I\to M_{0}$ を $σ 1$ の発展とする。このとき、 $g -1$ は $σ 1$ に沿った $M 0$ の $M 1$ 上の滑りとねじれのない転がしであり、 $σ 1$ の発展は $σ 0$ である。

また「推移律」も成立する：

定理 ― $M 0$ 、 $M 1$ 、 $M 2$ を $\mathbb {R} ^{N}$ に埋め込まれた3つの $n$ 次元リーマン多様体とし、 $\sigma _{2}~:~I\to M_{2}$ を $M 1$ 上の区分的になめらかな曲線とする。 $g 2$ を $σ 2$ に沿った $M 2$ の $M 1$ 上の滑りとねじれのない転がしとし、 $σ 1$ をその発展とする。さらに $g 1$ を $σ 1$ に沿った $M 1$ の $M 0$ 上の滑りとねじれのない転がしとし、 $σ 0$ をその発展とする。

このとき、 $g_{2}\circ g_{1}$ は $σ 2$ に沿った $M 2$ の $M 0$ 上の滑りとねじれのない転がしであり、その発展は $σ 0$ である^[6]。

カルタン接続およびレヴィ・チヴィタ接続との関係

カルタン接続との関係

→詳細は「カルタン幾何学 § モデルがユークリッド幾何学の節」を参照

$(M,g)$ をリーマン多様体とすると、 $(M,g)$ にはユークリッド幾何学 $(G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{n}),O(n))$ をモデルとする捩れのないカルタン幾何学 $(\pi ,P,\omega )$ の構造が一意に入る事が知られている。

$σ 1$ を $M$ 上の区分的になめらかな曲線とすると、カルタン幾何学構造 $(\pi ,P,\omega )$ により定まる $σ 1$ の発展

\sigma _{0}~:~I\to G/H=\mathrm {Euc} _{n}(\mathbb {R} ^{n})/O(n)\approx \mathbb {R} ^{n}

が定義可能である。実はこのカルタン幾何学の意味での発展は、滑りとねじれのない転がしによる発展と一致する：

定理 ― $M$ を $\mathbb {R} ^{N}$ の $n$ 次元部分多様体とし、 $\sigma _{1}~:~I\to M$ を区分的になめらかな曲線とする。

このとき、 $σ 1$ の滑りとねじれのない転がしによる $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{N}$ への発展は、 $σ 1$ のカルタン幾何学の意味での発展と一致する^[7]。

レヴィ-チヴィタ接続との関係

$n$ 次元リーマン多様体 $M\subset \mathbb {R} ^{N}$ を曲線 $\sigma _{1}~:~I\to M$ に沿って滑りもねじれもなく $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{N}$ 転がしたときの発展を $\sigma _{0}~:~I\to \mathbb {R} ^{n}$ とすると、時刻 $t$ に $\sigma _{1}(t)$ が $\mathbb {R} ^{n}$ に接した瞬間に $T_{\sigma _{1}(t)}M$ が $\mathbb {R} ^{n}$ に重なるので、自然に写像

\varphi _{t}~:~T_{\sigma _{1}(t)}M\to \mathbb {R} ^{n}

が定義できる。この写像を使うと、 $M$ のレヴィ・チヴィタ接続 $\nabla$ の幾何学的意味を述べることができる：

定理 ― $v(t)\in T_{\sigma _{1}(t)}M$ を $\sigma _{1}(t)$ に沿った $M$ 上のベクトル場とすると、以下が成立する^[7]：

\varphi _{t}\left({\nabla  \over dt}v(t)\right)={d \over dt}\varphi _{t}(v(t))

すなわち、曲線 $\sigma _{1}(t)$ に沿った $v(t)$ の共変微分を $\mathbb {R} ^{n}$ に移したものは、 $v(t)$ を移したものを通常の意味で微分したものに一致する。この事実から特に、レヴィ-チヴィタ接続による平行移動と $\mathbb {R} ^{n}$ における通常の意味での平行移動の関係を示すことができる：

系 ― $\sigma _{1}(a)$ における接ベクトル $v$ を $M$ 上曲線 $\sigma _{1}(t)$ に沿って（レヴィ・チヴィタ接続の意味で）平行移動したものを $v'$ とするとき、 $\sigma _{0}(a)$ におけるベクトル $\varphi _{a}(v)$ を $\mathbb {R} ^{n}$ 上 $\sigma _{0}(b)$ まで通常の意味で平行移動したものは $\varphi _{b}(v')$ に等しい^[7]。

脚注

出典

↑ #Sharpe p.375.
↑ #Shape p.377.
1 2 #Sharpe p.377-378.
↑ #Sharpe p.377-378.
↑ #Sharpe p.381.
↑ #Sharpe p.388.
1 2 3 #Sharpe pp.386-387.

注釈

↑ 本項の内容に関する日本語の文献を発見できなかったため、「滑りとねじれのない転がし」という名称を始め、本項の専門用語は本項執筆者が暫定的に訳したものである。
↑ なお、捩率テンソルの事を「捩れテンソル」ともいうが、英語では、「捩れテンソル」はtorsion tensor、「ねじれのない転がし」の「ねじれ」はtwistであり、両者は無関係な概念である。
↑ ナッシュの埋め込み定理により、コンパクトな多様体は必ず十分次元の高いユークリッド空間に埋め込み可能である。
↑ #Sharpe p.377では二番目の条件は $T_{g(t)\sigma _{1}(t)}M_{1}=T_{g(t)\sigma _{1}(t)}M_{0}$ と $M 1$ の方の添字も $g(t)\sigma _{1}(t)$ になっているが、誤記であると判断。
↑ #Sharpeでは完備性の条件は明示されていないが、完備でない場合には存在性に対する反例を容易に発見できる。例えば平面を半球面上転がす場合、半球の縁を超えて発展を延長できない。