無記憶性

ある連続確率分布が無記憶性を持つ場合、その確率分布は指数分布である。このことは以下のようにして証明できる。

無記憶性の定義式から、以下が成立する:$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t)}$$条件付き確率の定義式より、上の式を以下のように変換できる:$${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t)}$$生存関数${\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}$を導入すれば、上の式を$${\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s)}$$と書き直せる。この式で${\displaystyle s=t,2t,\ldots }$ を代入することで、任意の自然数 ${\displaystyle k}$ と非負なる実数 ${\displaystyle t}$ に対して$${\displaystyle S(kt)=S(t)^{k}}$$が成立することがわかる。

さらに、この式で ${\displaystyle kt=t'}$ とおいて両辺を${\displaystyle 1/k}$ 乗する事で、任意の自然数 ${\displaystyle k}$と非負なる実数 ${\displaystyle t'}$ に対して

$${\displaystyle S\left({\frac {t'}{k}}\right)=S(t')^{\frac {1}{k}}}$$が成立することもわかる。これらを組み合わせることで、任意の非負なる有理数 ${\displaystyle r}$ と非負なる実数 ${\displaystyle t}$ に対して

$${\displaystyle S(rt)=S(t)^{r}}$$

が成立することが示される。有理数の稠密性と生存関数の連続性より、この関係性は任意の非負なる実数に対しても成立する。結果的に、${\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}$ とおけば、任意の非負実数 ${\displaystyle t}$ に対する生存関数が$${\displaystyle S(t)=S(1)^{t}=e^{t\ln S(1)}=e^{-\lambda t}}$$で与えられるということがわかる。これは指数関数の生存関数に他ならない^[3]。

ある離散確率分布が無記憶性を持つ場合、その確率分布は幾何分布である。このことは以下のようにして証明できる。ただし、${\displaystyle X}$ の台は${\displaystyle \{1,2,\ldots \}}$であるとする。

連続確率分布と同様の手順により、離散確率分布の場合でも$${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t)}$$が導かれる。いま、${\displaystyle k}$ を1以上の自然数であるとすると、

${\displaystyle \Pr(X>k+1)=\Pr(X>1)\Pr(X>k)}$

が得られるので、上の式を繰り返し適用することで、1以上の自然数 ${\displaystyle k}$ に対し$${\displaystyle \Pr(X>k)=\Pr(X>1)^{k}}$$が成立していることがわかる。また、${\displaystyle X}$ は1以上の整数値を取るので、${\displaystyle r<1}$ ならば ${\displaystyle \Pr(X>r)=1}$ である。これらを踏まえると、任意の非負なる実数 ${\displaystyle t}$ に対して${\displaystyle \Pr(X>t)}$が

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X>t)&=\Pr(X>\lfloor t\rfloor +(t-\lfloor t\rfloor ))\\&=\Pr(X>\lfloor t\rfloor )\Pr(X>t-\lfloor t\rfloor )\\&=\Pr(X>1)^{\lfloor t\rfloor }\end{aligned}}}$

で表されることがわかる(ただし、${\displaystyle \lfloor t\rfloor }$ は ${\displaystyle t}$ 以下の整数のうち最大のものを表す)。したがって、この変数の累積分布関数${\displaystyle F_{X}(x)}$は$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=\Pr(X\leq x)=1-\Pr(X>x)\\&=1-(\Pr(X>1))^{\lfloor x\rfloor }\end{aligned}}}$$という形となっている。ここで、${\displaystyle p=1-\Pr(X>1)}$とおけば

${\displaystyle F_{X}(x)=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }}$

が得られる。これは幾何分布の累積分布関数に他ならない。