状態数

状態数（じょうたいすう、英: number of states）は、統計力学において、系がマクロな状態にあるとるときに、その系が取り得るミクロな状態の数である。ミクロカノニカルアンサンブルにおける分布関数の正規化係数として現れる。

定義

系が取り得る全てのミクロな状態の集合（標本空間）を $Ω$ とする。系がマクロな変数 $X$ により指定されるマクロな状態にあるときに、系が取り得るミクロな状態の部分集合を $Ω (X)$ とするとき、状態数 $W (X)$ は

$W(X)=\sum _{\omega \in \varOmega (X)}1=\sum _{\omega \in \varOmega }\chi _{\varOmega (X)}(\omega )$

によって定義される。ここで $χ A$ は部分集合 $A$ の指示関数

$\chi _{A}(\omega )={\begin{cases}1&\omega \in A\\0&\omega \notin A\\\end{cases}}$

で、 $ω$ が $A$ に属すならば 1 を、さもなくば 0 を返す関数である。

状態数とエネルギー幅

系のマクロな状態がマクロなエネルギー $E$ だけで指定される場合を考える。系がミクロな状態 $ω$ にあるときのエネルギーが ${\mathcal {E}}(\omega )$ により与えられるものとする。系のマクロなエネルギーが $E$ であるときに取り得る状態の部分集合を、エネルギー幅 $δ E$ を導入して

$\varOmega (E,\delta E)=\{\omega \in \varOmega |E-\delta E<{\mathcal {E}}(\omega )\leq E\}$

で定義する。

このときヘヴィサイドの階段関数を用いれば指示関数が

$\chi _{\varOmega (E,\delta E)}(\omega )=\eta (E-{\mathcal {E}}(\omega ))-\eta (E-\delta E-{\mathcal {E}}(\omega ))$

と書き換えられるので、状態数は

$W(E,\delta E)=\sum _{\omega \in \varOmega }\{\eta (E-{\mathcal {E}}(\omega ))-\eta (E-\delta E-{\mathcal {E}}(\omega ))\}=N(E)-N(E-\delta E)$

となる。ここで

$N(E)=\sum _{\omega \in \varOmega }\eta (E-{\mathcal {E}}(\omega ))$

は系のマクロなエネルギーが $E$ 以下の状態の数である。

状態密度

エネルギー幅が充分小さいとき、状態数は

$W(E,\delta E)\approx {\frac {dN}{dE}}\,\delta E=D(E)\,\delta E$

と近似できる^[1]^[2]^[3]。微分係数

$D(E)={\frac {dN}{dE}}$

は状態密度と呼ばれる^[1]^[2]。状態密度を用いれば、状態数が

$W(E,\delta E)=\int _{E-\delta E}^{E}D(E')\,dE'$

$N(E)=\int _{-\infty }^{E}D(E')\,dE'$

と書き換えられる。矩形窓を用いれば

$W(E,\delta E)=\int _{-\infty }^{\infty }\{\eta (E-E')-\eta (E-\delta E-E')\}\,D(E')\,dE'$

と書き換えられる。矩形窓に変えてガウス窓を用いて

$W^{\text{g}}(E,\delta E)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(E-E')^{2}/(\delta E)^{2}}\,D(E')\,dE'$

としても、 $O (N 1)$ のオーダーではエントロピーには影響しない^[3]。

状態密度はディラックのデルタ関数を用いて形式的に

$D(E)=\sum _{\omega \in \varOmega }\delta (E-{\mathcal {E}}(\omega ))$

と書くことができる。

量子系においては状態が離散的であり、状態数も離散的な数となる。しかし、通常の統計力学においては非常に膨大な数の状態を扱い、状態数は連続的な関数であるとみなすことができる。

古典系

ミクロな力学系が古典力学で記述される場合を考える。すなわち標本空間 $Ω$ とは位相空間であり、ミクロな状態は正準変数の組 ( $p,q$ ) により指定される。位相空間の測度は、1対の正準変数 $dp dq$ ごとにプランク定数 $h$ で割る約束で、状態に対する和が

$\sum _{\omega \in \Omega }\to {\frac {1}{h^{f}}}\int d^{f}p\,d^{f}q$

で置き換えられる。ここで $f$ は力学的自由度であり、3次元空間の $N$ -粒子系であれば、 $f = 3 N$ である。

ミクロな状態 ( $p,q$ ) に対して、エネルギーはハミルトン関数 ${\mathcal {H}}(p,q)$ で与えられる。状態密度は

$D(E)={\frac {1}{h^{f}}}\int \delta (E-{\mathcal {H}}(p,q))\,d^{f}p\,d^{f}q$

として得られる。

フェルミ分布

ある1粒子系を考えたとき、1粒子状態密度 $D 1 (E)$ はこの系のエネルギー準位の密度分布を表す。この系をn-粒子系に拡張したときにエネルギー準位の密度分布が変化しないとする。この系がフェルミ系であるとき、状態数 $N (E)$ が粒子数 $n$ と等しくなるエネルギー $E F$ はフェルミエネルギーと呼ばれる。