真空ラビ振動

真空ラビ振動の数学的な理論化はジェインズ＝カミングズ模型（英語版）に始まる。このモデルは光共振器中における量子化された電磁場の一つのモードと一つの二準位系の間の相互作用を考える。モデルハミルトニアンは回転波近似（英語版）において

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+\hbar g\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)}$

となる。ここで ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ は二準位系が孤立しているときの準位間エネルギー差、${\displaystyle {\hat {\sigma _{z}}}}$ は二準位系に対するパウリのスピン演算子の z 成分である。${\displaystyle |e\rangle }$ を励起状態、${\displaystyle |g\rangle }$ を基底状態として ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|}$ および ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|}$ は二準位系の昇降演算子、${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ および ${\displaystyle {\hat {a}}}$ はエネルギー ${\displaystyle \hbar \omega }$ を持つ共振器内光子の生成消滅演算子である。二準位系と光子の結合定数 ${\displaystyle g}$ は

${\displaystyle g={\frac {\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathcal {E}}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}}}$

で与えられる。${\displaystyle \mathbf {d} }$ は二準位系の双極子モーメント、${\displaystyle V}$ は共振器の体積、${\displaystyle {\hat {\mathcal {E}}}}$ は光子モードの偏光方向を表す^[4]。このモデルのエネルギー固有値と固有状態は以下の通りである。

${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}=\hbar \omega _{n}^{\pm }}$

${\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle +\sin \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle }$

${\displaystyle |n,-\rangle =\sin \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle -\cos \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle }$

となる。${\displaystyle \delta =\omega _{0}-\omega }$ は離調（英語版）と呼ばれ、角度 ${\displaystyle \theta _{n}}$ は以下で定義される。

${\displaystyle \theta _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {g{\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right)}$

この固有状態を用いると時間発展演算子は以下の形に書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }&=\sum _{|n,\pm \rangle }\sum _{|n',\pm \rangle }|n,\pm \rangle \langle n,\pm |e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|n',\pm \rangle \langle n',\pm |\\&=~e^{i(\omega -{\frac {\omega _{0}}{2}})t}|g,0\rangle \langle g,0|\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}|e,n\rangle )(\cos {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\sin {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )(-\sin {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\cos {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\\end{aligned}}}$

系の初期状態が ${\displaystyle |g,n+1\rangle }$ だったとすれば、すなわち原子が基底準位 ${\displaystyle |g\rangle }$ にあり共振器内に ${\displaystyle n+1}$ 個の光子があったならば、上記の時間発展演算子を作用させることで以下が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle &=e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )+e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle -\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )\\&=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}+e^{-i\omega _{n}^{-}t})\cos {(2\theta _{n})}|g,n+1\rangle +(e^{-i\omega _{n}^{+}t}-e^{-i\omega _{n}^{-}t})\sin {(2\theta _{n})}|e,n\rangle \\&=e^{-i\omega _{c}(n+{\frac {1}{2}})}{\Biggr [}\cos {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {\delta ^{2}-4g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|g,n+1\rangle +\sin {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|e,n\rangle {\Biggr ]}\end{aligned}}}$

二準位系が励起状態 ${\displaystyle |e,n\rangle }$ にある確率を時間 ${\displaystyle t}$ の関数として表せば

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,n|e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle |^{2}\\&=\sin ^{2}{{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}\\&={\frac {4g^{2}(n+1)}{\Omega _{n}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{n}t}{2}}{\bigr )}}\end{aligned}}}$

となる。${\displaystyle \Omega _{n}={\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}}$ をラビ周波数（英語版）という。共振器内に電場が存在しない、すなわち光子数 ${\displaystyle n}$ がゼロである場合、ラビ周波数は ${\displaystyle \Omega _{0}={\sqrt {4g^{2}+\delta ^{2}}}}$ となる。このとき二準位系が基底状態から励起状態に移る確率は時間 ${\displaystyle t}$ の関数として以下で与えられる。

${\displaystyle P_{e}(t)={\frac {4g^{2}}{\Omega _{0}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{0}t}{2}}{\bigr )}}}$

二準位系のエネルギー差と完全に共鳴するエネルギーを持つ単一モードの光子が共振器内に存在できるなら、離調 ${\displaystyle \delta }$ は消失し、${\displaystyle P_{e}(t)}$ は振幅1で周期 ${\displaystyle {\frac {2\pi }{g}}}$ を持つ正弦関数の2乗となる。