矢 (幾何学)

以下の等式において、s は矢の長さ（円弧の深さ）、r は円の半径、ℓ は円弧の両端点を結ぶ弦の長さの半分とする。ℓ と r−s は r を斜辺とする直角三角形の直角を挟む二辺の長さであるから、三平方の定理により $${\displaystyle r^{2}=\ell ^{2}+(r-s)^{2}}$$ を得る。これを各変数について解けば $${\displaystyle {\begin{cases}s=r-{\sqrt {r^{2}-{\ell ^{2}}}},\\\ell ={\sqrt {2rs-s^{2}}},\\r={\frac {s^{2}+\ell ^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {\ell ^{2}}{2s}}\end{cases}}}$$ を得る。

矢の長さは正矢函数 versin を用いても計算できる。中心角 Δ = 2θ の見込む弧について、単位円上では矢の長さが正矢の値に一致するから、$${\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r(1-\cos \theta )=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$$ を得る。

矢が半径に比較して十分小さいとき、近似公式 $${\displaystyle s\approx {\frac {\ell ^{2}}{2r}}}$$ が成り立つ^[2]。

あるいは、矢が小さく、矢・半径・半弦の長さが既知のとき、円弧の長さは半弧長 a が近似式 $${\displaystyle a\approx \ell +{\frac {s^{2}}{2r}}}$$ に従う（この公式は、中国の数学者沈括の手になるものと知られる。同様の、矢を含むより精密な評価式^[要説明]を、それより2世紀のちに郭守敬が与えている^[3]）。

建築家やエンジニアは設計や工事において、湾曲した壁、アーチ型の天井、橋梁などさまざまな用途で「平らな」円弧を作るためにこれらの近似式を利用する。

物理学でも、加速粒子の曲率半径を計算するために、矢（と弦）の長さが用いられる。これは特に泡箱実験で用いられ、崩壊粒子の運動量の決定に用いられる。