磁気ヘリシティ

ベクトルポテンシャルを${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$、磁場ベクトルを${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$とすると、磁気ヘリシティは以下の式によって定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=\int {\boldsymbol {A}}\cdot \left(\nabla \times {\boldsymbol {A}}\right)\,d^{3}{\mathbf {r} },\\&=\int {\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}\,d^{3}{\mathbf {r} },\\\end{aligned}}}$

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

磁気ヘリシティはゲージ不変である^[2]。これは、${\displaystyle \phi }$をスカラーポテンシャルとして、${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\rightarrow {\boldsymbol {A}}+\nabla \phi }$とすると、以下のように展開されるからである。

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=\int {\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}\,d^{3}{\mathbf {r} }+\int (\nabla \phi )\cdot {\boldsymbol {B}}\,d^{3}{\mathbf {r} },\\&=\int {\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}\,d^{3}{\mathbf {r} }+\int \phi (\nabla \cdot {\boldsymbol {B}})\,d^{3}{\mathbf {r} }+\int \phi {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d^{2}{\mathbf {r} },\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=0}$（磁束保存の式）であるため、右辺第2項は0である。 右辺第3項の${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$は、境界上の法線ベクトルである。 閉空間のため、境界上で${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {n}}=0}$である。 よって右辺第3項も0である。 （ゲージ不変を満たすために、磁気ヘリシティは閉空間内で定義されなければならない。）

磁気ヘリシティは閉空間において保存量である^[2]。 ここで、磁気ヘリシティ密度${\displaystyle h_{0}={\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}}$を考える。 Maxwell方程式より、${\displaystyle \partial {\boldsymbol {A}}/\partial t=-{\boldsymbol {E}}-\nabla \phi }$である。 磁気ヘリシティ密度の時間変化は以下のようになる。

${\displaystyle {\frac {\partial h_{0}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {h}}=-2{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}}$

ここで、${\displaystyle {\boldsymbol {h}}={\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {A}}+\phi {\boldsymbol {B}}}$である。

• ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$がポテンシャル電場である場合(${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi }$)、${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {h}}=-2{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}}$である。よって、

${\displaystyle {\frac {\partial h_{0}}{\partial t}}=0}$

• 理想MHDである場合(${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {B}}}$)、以下のように展開できる。

${\displaystyle {\frac {\partial h_{0}}{\partial t}}+\nabla \cdot (h_{0}{\boldsymbol {V}}-({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {V}}){\boldsymbol {B}})=0}$

この式を、境界上で${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {B}}=0}$である領域で積分すると、

${\displaystyle \int \left({\frac {\partial h_{0}}{\partial t}}+\nabla \cdot (h_{0}{\boldsymbol {V}})\right)\,d^{3}{\mathbf {r} }={\frac {\partial H}{\partial t}}+\int h_{0}{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d^{2}{\mathbf {r} }}$

境界上において${\displaystyle {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {n}}=0}$である場合、磁気ヘリシティの時間変化は0である。

以上により、磁気ヘリシティは保存量である。 （保存量であるために、磁気ヘリシティは閉空間内で定義されなければならない。）

Summarize Timeline Fact Check

上記に示したように、磁気ヘリシティは「閉空間」においてゲージ不変であり、保存量である。 しかし一方で、いくつかの現実問題に適用するために、「開空間」での磁場のヘリシティを測定したいという動機がある。 そこで、Bergerらは開空間においてヘリシティが0である参照磁場を用いて、 相対的な磁気ヘリシティを定義した^[3]。 これを相対磁気ヘリシティと呼ぶ。 以下、参照磁場としてポテンシャル磁場を用いる。 相対磁気ヘリシティ（${\displaystyle H_{R}}$）は以下のように定義される。

${\displaystyle H_{R}=\int ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {A}}_{P})\cdot ({\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {B}}_{P})\,d^{3}{\mathbf {r} }}$

下付添え字の${\displaystyle P}$は、ポテンシャル磁場成分を示す。 開空間であるため、境界の時間変化により境界内部の相対磁気ヘリシティも変化することが考えられる。 上式の時間微分をとると、以下の式になる^[4]。

${\displaystyle {\frac {\partial H_{R}}{\partial t}}=2\int [({\boldsymbol {A}}_{P}\cdot {\boldsymbol {V}}_{t}){\boldsymbol {B}}_{n}-({\boldsymbol {A}}_{P}\cdot {\boldsymbol {B}}_{t}){\boldsymbol {V}}_{n}]\cdot {\boldsymbol {n}}\,d^{2}{\mathbf {r} }}$

よって、境界上での速度場、磁場（ベクトルポテンシャル）が得られれば相対磁気ヘリシティの時間変化（入射量）を計算することができる。