積公式

積公式は、局所的な絶対値や付値を大域的に結びつける関係として、代数的整数論および類体論で中心的な役割を果たしてきた。Emil Artin と George Whaples は1945年の論文で、付値に関する積公式を用いて大域体を公理的に特徴づけた。^[2][3]

この見方は、その後のイデールやアデールを用いた定式化とも深く関係している。^[3]

数体 ${\displaystyle K}$ の各場所 ${\displaystyle v}$ に対し、対応する絶対値を適切に正規化すると、任意の ${\displaystyle \alpha \in K^{\times }}$ について

${\displaystyle \prod _{v}|\alpha |_{v}=1}$

が成り立つ。ここで積は ${\displaystyle K}$ のすべての場所にわたる。有限素点に対応する絶対値は素イデアル ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ に対し

${\displaystyle |\alpha |_{\mathfrak {p}}=(N{\mathfrak {p}})^{-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(\alpha )}}$

で与えられ、無限素点に対しては実埋め込みでは通常の絶対値、複素埋め込みではその二乗を用いるのが標準的な正規化である。^[4]

この正規化のもとで積公式が成り立つことは、数体の局所データをひとつの大域的関係式にまとめる基本事実のひとつである。^[4]

${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ の場合、任意の非零有理数 ${\displaystyle a}$ に対して ${\displaystyle |a|_{p}\neq 1}$ となる素点は有限個しかないので、積は実際には有限積になる。特に素数 ${\displaystyle p}$ 自身について

${\displaystyle |p|_{p}=1/p,\quad |p|_{q}=1\ (q\neq p),\quad |p|_{\infty }=p}$

であるから、それらの積は 1 になる。これは有理数体における積公式の最も基本的な具体例である。^[4]

積公式は数体に限らず、有限体上の一変数関数体などの大域体でも成り立つ。MIT の講義ノートでは、大域体を付値の積公式の観点から説明している。^[3]

数体の場合と同様に、関数体の場合にも各場所に対応する絶対値を正規化でき、そのとき

${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1}$

が成り立つ。さらに、代数的閉体上の関数体では、これは

${\displaystyle \sum _{v}\operatorname {ord} _{v}(a)=0}$

という形に言い換えられ、幾何学的には有理型関数の零点の総次数と極の総次数が一致するという事実に対応する。^[4]

積公式を述べるには、数体の場所、対応する完備化、有限素点と無限素点、そしてそれらに付随する正規化絶対値の概念が必要になる。数体の各素イデアル、各実埋め込み、各複素埋め込みの共役対に対して、それぞれひとつの場所が対応する。^[4]

また、積公式はイデールのノルムが 1 になる条件や、局所体から大域体への貼り合わせを考える際の基本関係式として用いられる。^[3]