積分スケール From Wikipedia, the free encyclopedia 積分スケール (せきぶんスケール、英語: Integral scale)は、エネルギー保有領域に対応する乱流の最大渦の長さスケールを表し、乱流の速度変動の自己相関関数から求めることができる。乱流運動を特徴付ける長さスケールとして積分スケール l e {\displaystyle l_{e}} 、テイラーマイクロスケール λ {\displaystyle \lambda } 、及び、コルモゴロフスケール η {\displaystyle \eta } があるが、それぞれの関係は一般に、 l e > λ > η {\displaystyle l_{e}>\lambda >\eta } であることが知られている。 積分スケール l e {\displaystyle l_{e}} の厳密な定義は以下のように表される。 l e = π 2 u 2 ¯ ∫ 0 ∞ E ( k ) k d k {\displaystyle l_{e}={\frac {\pi }{2{\overline {u^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {E(k)}{k}}dk} ここで、 u 2 ¯ {\displaystyle {\overline {u^{2}}}} は流体速度のレイノルズ平均値からの変動の二乗平均平方根 (root mean square RMS) であり、速度変動のRMS値あるいは変動強度などと呼ばれる。 k {\displaystyle k} は波数である。 E ( k ) {\displaystyle E(k)} は速度変動の3次元エネルギースペクトルである。 導出 Summarize Timeline Top Qs Fact Check 縦速度相関関数 U L {\displaystyle U_{L}} を以下のように定義する。 U L ( r ) = u L ( x + r ) u r ( x ) ¯ {\displaystyle U_{L}(r)={\overline {u_{L}(x+r)u_{r}(x)}}} 積分スケール l e {\displaystyle l_{e}} は以下に示すように、縦速度相関関数 U L {\displaystyle U_{L}} の積分で定義される。ここで、 r {\displaystyle r} は相対位置を表す。 l e = 1 U L ( 0 ) ∫ 0 ∞ U L ( r ) d r {\displaystyle l_{e}={\frac {1}{U_{L}(0)}}\int _{0}^{\infty }U_{L}(r)dr} 次に縦速度相関関数 U L {\displaystyle U_{L}} に対して、フーリエ逆変換を用いると U L ( r ) = ∫ − ∞ ∞ E ∥ ( k 1 ) e i k 1 r d r {\displaystyle U_{L}(r)=\int _{-\infty }^{\infty }E_{\parallel }(k_{1})e^{ik_{1}r}dr} ここで、 k 1 {\displaystyle k_{1}} は波数を示し、 E ∥ {\displaystyle E_{\parallel }} は1次元縦エネルギースペクトル関数であり、 E ∥ = 1 2 ∫ k 1 ∞ E ( k ) k ( 1 − k 1 2 k 2 ) d k {\displaystyle E_{\parallel }={\frac {1}{2}}\int _{k_{1}}^{\infty }{\frac {E(k)}{k}}\left(1-{\frac {k_{1}^{2}}{k^{2}}}\right)dk} である。 これらを用いて縦速度相関関数 U L {\displaystyle U_{L}} の積分で定義された l e {\displaystyle l_{e}} を変形すると、 l e = π 2 u 2 ¯ ∫ 0 ∞ E ( k ) k d k {\displaystyle l_{e}={\frac {\pi }{2{\overline {u^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {E(k)}{k}}dk} が得られる。 他のスケールとの関係 等方性乱流の理論から、積分スケールとその他の乱流特性長さスケールは、次のように見積もることができる。 l e η ≈ R e 3 4 {\displaystyle {\frac {l_{e}}{\eta }}\thickapprox Re^{\frac {3}{4}}} l e λ = R e 1 2 {\displaystyle {\frac {l_{e}}{\lambda }}=Re^{\frac {1}{2}}} レイノルズ数 R e {\displaystyle Re} は、エネルギー保有領域の代表的長さ l 0 {\displaystyle l_{0}} 、代表的な速度変動の大きさ v 0 {\displaystyle v_{0}} 、動粘性係数 ν {\displaystyle \nu } を用いて R e = v 0 l 0 ν {\displaystyle Re={\frac {v_{0}l_{0}}{\nu }}} と表される。各特性長さスケール間の関係式から解るように、レイノルズ数の増加とともに、各長さスケールの比は大きくなる。 エネルギー散逸率との関係 大スケールの運動と散逸率の関係を決定するために、「大きな渦から小さな渦へのエネルギー供給率は大きな渦の時間スケールの逆数に比例する」という仮定をする。大スケールの渦が持つ単位質量当たりの運動エネルギーは、おおよそ u 2 {\displaystyle u^{2}} で、そのうち小スケールへ供給されるエネルギーの割合は u l e {\displaystyle {\frac {u}{l_{e}}}} に比例する。したがって、大スケールから小スケールへの供給量は単位時間当たり、 u 2 ⋅ u l e = u 3 l e {\displaystyle u^{2}\cdot {\frac {u}{l_{e}}}={\frac {u^{3}}{l_{e}}}} となる。小スケールでは受け取ったエネルギー散逸率 ϵ {\displaystyle \epsilon } で散逸するが、散逸量が受け取るエネルギー供給量に等しいとすると ϵ ≈ u 3 l e {\displaystyle \epsilon \thickapprox {\frac {u^{3}}{l_{e}}}} となる。 参考文献 本田重雄、柳瀬眞一郎 編『乱流力学』1999年。 Davidson P. A., ed. (2015), Turbulence: an introduction for scientists and engineers Tennekes, H.; Lumley, J.L., ed. (1972), A First Course in Turbulence, ISBN 978-0-262-20019-6 Related Articles
を以下のように定義する。
は以下に示すように、縦速度相関関数の積分で定義される。ここで、
は相対位置を表す。
に対して、フーリエ逆変換を用いると
は波数を示し、
は1次元縦エネルギースペクトル関数であり、
の積分で定義されたを変形すると、
