積分差分方程式

空間一次元において、分散核はしばしば出発点と目的地の間の距離にのみ依存するものとされ、そのような場合には ${\displaystyle k(x-y)}$ と書かれる。このとき、f と k に対するいくつかの自然な条件の下で、コンパクトな初期条件から生成される侵入波の伝播速度は well-defined となる。そのような波の速度はしばしば、線形化方程式

${\displaystyle n_{t+1}=\int _{-\infty }^{\infty }k(x-y)Rn_{t}(y)\,dy}$

を調べることによって計算される。ここで ${\displaystyle R=df/dn(n=0)}$ であり、この式は畳み込み

${\displaystyle n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}}$

として書き表すことができる。ここで積率母関数変換

${\displaystyle M(s):=\int _{-\infty }^{\infty }e^{sx}n(x)\,dx}$

を用いることで、臨界波速 (critical wave speed)

${\displaystyle c^{*}:=\min _{w>0}\left[{\frac {1}{w}}\ln \left(R\int _{-\infty }^{\infty }k(s)e^{ws}\,ds\right)\right]}$

が求められる。

空間内の個体群ダイナミクスをモデル化する上で用いられる他のタイプの方程式には、反応拡散方程式やメタ個体群方程式などがある。しかし、拡散方程式は明示的な分散パターンを含むことができるほど簡単なものではなく、世代が重なるような個体群に対してのみ生物学的に正当なものとなる^[2]。また、メタ個体群方程式は連続的な土地ではなく離散的なパッチに個体群を細分するという点において、積分差分方程式とは異なるものとなる。