空間的自己相関

モランのI統計量

モランのI統計量は、Moran (1948)により提案され、Cliff and Ord (1981)により改良された統計量である^[8]。この統計量では、空間的自己共分散を標準化している^[6]。モランのI統計量は、式(1)で表される^[6]。

${\displaystyle I={\frac {n}{W}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

(1)

なお、${\displaystyle n}$は小区域数、${\displaystyle x_{i}}$は区域${\displaystyle i}$の属性値、${\displaystyle {\bar {x}}}$は平均、${\displaystyle w_{ij}}$は重み係数^{[注釈 2]}であり、${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}}$とする^[6]。

モランのI統計量を用いることで、ある属性の凝集の程度を知ることができる^[9]。ここで${\displaystyle I>0}$のとき、${\displaystyle I}$がより大きくなるほど、隣接する小区域と属性が似通うことになるため、面フィーチャ分布は凝集型となっていく^[10]。逆に、${\displaystyle I<0}$のときは、${\displaystyle I}$がより小さくなるほど、隣接する小区域と属性が相異なることになるため、面フィーチャ分布は均等型となっていく^[10]。${\displaystyle I\approx 0}$のときは、それぞれの小区域の属性は他の小区域とは関係がなく、面フィーチャ分布は完全ランダム型となっていく^[10]。

ゲイリーのC統計量

ゲイリーのC統計量は、Geary (1954)により提唱された統計量である^[11]。式(2)で表される^[12]。

${\displaystyle c={\frac {n-1}{2W}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}{(x_{i}-x_{j})}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

(2)

ここで${\displaystyle c<1}$のときは${\displaystyle x_{i}}$は正の空間的自己相関をもち、${\displaystyle c=1}$のときは${\displaystyle x_{i}}$はランダムに分布し、${\displaystyle c>1}$のときは${\displaystyle x_{i}}$は負の空間的自己相関をもつ^[12]。

ローカルな空間的自己相関測度

Getis and Ord (1992)により提唱された測度であり、式(3)・式(4)で表される^[13]。${\displaystyle G_{i}}$は、${\displaystyle x_{j}}$に${\displaystyle x_{i}}$が含まれない場合であるが、${\displaystyle G_{i}^{*}}$では、${\displaystyle x_{j}}$に${\displaystyle x_{i}}$も含まれる^[13]。

${\displaystyle G_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{n}w_{ij}x_{j}}{\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}$ ただし${\displaystyle j\neq i}$

(3)

${\displaystyle G_{i}^{*}={\frac {\sum _{j=1}^{n}w_{ij}x_{j}}{\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}$

(4)

ここで${\displaystyle w_{ij}}$は区域${\displaystyle i}$と区域${\displaystyle j}$の区域間結合の強さを意味し、距離逓減関数で求められることが多い^[13]。

ローカル・モラン統計量

ローカル・モラン統計量は、近接する地区${\displaystyle i}$、地区${\displaystyle j}$における属性値${\displaystyle x_{i}}$、${\displaystyle x_{j}}$を利用して${\displaystyle x}$の空間的自己相関を評価するための指標である^[14]。Anselin (1995)により提唱された統計量であり、モランのI統計量のローカル統計量バージョンにあたる^[13]。ローカル・モラン統計量${\displaystyle I_{i}}$は、式(5)で表される^[15]。

${\displaystyle I_{i}={(x_{i}-{\bar {x}})}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}{(x_{j}-{\bar {x}})}}$

(5)

ローカル・モラン統計量は、地理的事象の詳細な分布を厳密に捉える手段として利用することができる^[16]。

このほか、ローカル・モラン統計量を拡張させたものとして、2変量ローカル・モラン統計量がある。これは、2変量${\displaystyle x}$・${\displaystyle y}$について、${\displaystyle x_{i}}$と${\displaystyle y_{j}}$の空間的自己相関を評価するための指標となり、式(6)で求められる^[14]。

${\displaystyle I_{xy}^{i}=z_{x}^{i}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}z_{y}^{j}}$

(6)

ただし、${\displaystyle z_{x}^{i}}$・${\displaystyle z_{y}^{j}}$は${\displaystyle x_{i}}$・${\displaystyle y_{j}}$を標準化させた後の値、${\displaystyle w_{ij}}$は2区域${\displaystyle i}$・${\displaystyle j}$の地域間結合の強さを示す値である^[14]。

ローカル・ゲーリー統計量

ローカル・ゲーリー統計量は、Anselin (1995)により提唱された統計量であり、ゲーリーのC統計量のローカル統計量バージョンにあたる^[13]。ローカル・ゲーリー統計量${\displaystyle c_{i}}$は、式(7)で表される^[15]。

${\displaystyle c_{i}=\sum _{j=1}^{n}w_{ij}{(x_{i}-x_{j})}^{2}}$

(7)