箙 (数学)

集合 V, E と写像 s, t: E → V が与えられたとき、組 Q = (V, E, s, t) を箙という^[2]。このとき V の元を頂点、E の元を辺あるいは矢という。また辺 α ∈ E に対して頂点 s(α) を始点、t(α) を終点という。 (V, E) は (Q₀, Q₁) や (I, Ω) とも書かれ、s, t は out, in とも書かれる。

頂点集合 V と辺集合 E が共に有限集合のとき、箙 Q は有限であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は局所有限であるという。

辺の列 α₁, …, α_n ∈ E が条件 t(α_i) = s(α_{i + 1}) (1 ≤ i < n) を満たすとき、辺の列 α₁, …, α_n を道という。このとき n ≥ 1 を道の長さ、頂点 a = s(α₁) を道の始点、b = t(α_n) を道の終点という。この道を記号で以下のように表す。

${\displaystyle (a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}|b)}$

ここで、頂点 v ∈ V のことを便宜的に長さが 0 の（自明な）道といい、その始点と終点は v と定める。上と同様にこれを (v||v) と表す。

箙 Q に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする体 k 上の自由線型空間を kQ とおく。ここで道 (a|α₁, …, α_n|b) と (c|β₁, …, β_m|d) に対して以下のように積を定める。

${\displaystyle (a|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}|b)(c|\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)={\begin{cases}(a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n},\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)&(b=c)\\0&(b\neq c)\end{cases}}}$

この代数 kQ を道代数（英: path algebra）という^[3]。

頂点集合 V を {1, …, n}, 辺集合 E を {α₁, …, α_n−1}, s(α_i) = i + 1, t(α_i) = i とおく。通常、箙 Q = (V, E, s, t) は以下のように図示される。

${\displaystyle Q:1{\stackrel {\alpha _{1}}{\longleftarrow }}2{\stackrel {\alpha _{2}}{\longleftarrow }}\dotsb {\stackrel {\alpha _{n-1}}{\longleftarrow }}n}$

このとき、道代数 kQ は n 次下三角行列のなす代数と同型である^[4]。

また頂点集合 V を一点集合 {1}、辺集合 E を {α₁, …, α_n}, s(α_i) = 1, t(α_i) = 1 とおく。このとき、道代数 kQ は自由代数 k⟨x₁, …, x_n⟩ と同型である。

箙 (I, Ω) の表現とは，I-次数付きベクトル空間 (V_i)_{i ∈ I} と線型写像 (φ_α: V_out(α) → V_in(α))_{α ∈ Ω} の組である．

この表現 V が有限次元であるとは，各ベクトル空間が有限次元であることであり，このときその次元ベクトル dim V とは (dim V_i)_{i ∈ I} のことである。

2つの表現の間の射は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体はアーベル圏をなす。

とくに oriented cycle をもたない有限な箙については，その単純加群、直既約射影加群、直既約移入加群が極めて容易に分類できる。

有限群と群環の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。

有限な箙 Q のすべての辺から生成される道代数 kQ の両側イデアルを R とおく。このとき、道代数 kQ の両側イデアル I が認容的（英: admissible）であるとは、

${\displaystyle R^{m}\leq I\leq R^{2}}$

となる自然数 m ≥ 2 が存在することをいう^[5]。

代数的閉体 k 上の任意の有限次元代数 A に対して、有限な箙 Q とその道代数 kQ の認容的イデアル I が存在して、有限次元代数 A は商代数 kQ/I と森田同値である^[6]。

ガブリエルの定理は、有限な箙の表現とディンキン図形とを結びつける^[7]。