組成代数

組成代数は必ずしも結合法則を満たす必要はない。最も著名な例は、実数体上の実数、複素数、四元数、八元数の4種類である。これらは、複素共役の概念を一般化した「対合（インボリューション）」を持つ。

組成代数の研究は、19世紀の平方和の恒等式（$n$ 個の平方和の積が再び $n$ 個の平方和で表せるかという問題）の研究に端を発している。

組成代数 $A$ は以下の性質を持つ。

• 単位元の存在: 全ての組成代数は単位元を持つことが証明されている。
• 対合の存在: $x \mapsto \bar{x}$ という写像が存在し、ノルムは $N(x) = x\bar{x}$ と表される。
• 交代性: 結合法則は必ずしも成り立たないが、より弱い条件である交代代数の性質（$(xx)y = x(xy)$ および $y(xx) = (yx)x$）は常に満たされる。