翼幅荷重

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定常水平飛行している飛翔体の翼に生じる誘導抗力は以下のように表せる^[1][2]。

文字を次のように定義する。

• L = 局所流に対する揚力。一様流の垂直方向からはφだけ傾いている
• C_L = 揚力係数
• W = 重量
• D_i = 誘導抗力。局所流に対する揚力 の水平成分
• C_D,i = 誘導抗力係数
• φ = 流入角、誘導角。一様流と吹き下ろしとのなす角。φ は小さいため ${\displaystyle \cos {\phi }\simeq 1,\ \sin {\phi }\simeq \phi }$ と見なせる
• ρ = 流体の密度
• V = 飛行速度（一様流速度）
• v = 吹き下ろし速度
• U = 局所流速。ここでは使用しないが ${\displaystyle U={\sqrt {V^{2}+v^{2}}}\ (\simeq V)}$ の関係がある
• b = 翼幅、スパン。左右の翼端間の距離
• S = 翼面積。翼を真上から見たときの投影面積
• AR = 翼のアスペクト比。AR := b²/S で定義される
• e = Oswald 効率係数、スパン効率係数などと呼ばれる係数。翼平面形が楕円翼からどれだけ離れているかによって与えられる。楕円翼で e = 1, その他の平面形では 0 < e < 1 であり、一般的には e = 0.7 - 0.95 程度である^[3][4]。
• AR_e = 有効アスペクト比。AR_e = e・AR により与えられる
• b_e = 有効翼幅。AR_e = b_e²/S から ${\displaystyle b_{e}={\sqrt {A\!\mathrm {R} _{e}S}}=b{\sqrt {A\!\mathrm {R} _{e}/A\!\mathrm {R} }}=b{\sqrt {e}}}$ で与えられる

運動量理論から、局所流についての揚力 L は、

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\rho \pi {b_{e}}^{2}Vv}$

と表せる。局所流は吹き下ろしによって一様流から角度 φ だけ傾いている。φ が小さいため、

${\displaystyle \phi$ :={\tan }^{-1}(v/V)\simeq v/V}

とできて、ここから v を消去すると

${\displaystyle \phi ={\frac {L}{(1/2)\rho V^{2}\pi {b_{e}}^{2}}}}$

が求まる。また重量は揚力の鉛直成分（すなわち一様流に対する揚力）と等しいが、やはり φ が小さいために

${\displaystyle W=L\cos {\phi }\simeq L}$

とできる。したがって誘導抗力 D_i は、

${\displaystyle D_{i}:=L\sin {\phi }\simeq W\phi ={\frac {W^{2}}{(1/2)\rho V^{2}\pi {b_{e}}^{2}}}={\frac {2}{\pi \rho }}{\left({\frac {W}{b_{e}}}\right)}^{2}{\frac {1}{V^{2}}}}$

となる。この式から、誘導抗力が翼幅荷重 W/b_e の2乗に比例することがわかる。

「翼幅荷重の二乗に比例」と言っても、実際には翼幅だけを変えるわけにはいかない。必要な揚力を生み、同時に形状抗力をできるだけ低減するためには、一定の翼面積（ないし翼面荷重）が要求される。翼面積を一定に保ったまま翼幅を変えるということは、アスペクト比を変えていることに他ならない。

また別の観点からは、力のように有次元の値でなく、無次元の係数によって評価することが好まれる場合もある。たとえば風洞において計測された模型の抗力と実機の抗力とは当然異なるが、相似則を満たしていれば抗力係数は一致する。

こうした理由から、誘導抗力係数 C_D,i を

${\displaystyle C_{D,i}={\frac {{C_{L}}^{2}}{\pi A\!\mathrm {R} _{e}}}}$

と表し（導出は省略）、（有効）アスペクト比の大小で誘導抗力係数を語ることも多い。この場合誘導抗力は

${\displaystyle D_{i}:={\frac {1}{2}}\rho V^{2}SC_{D,i}}$

と求まる。