臨界点 (集合論)

集合論において、推移的クラスから推移的クラスへの初等埋め込みの 臨界点(りんかいてん) とは、その埋め込みによってそれ自身に写されない最小の順序数のことである。^[1]

${\displaystyle j:N\to M}$ が初等埋め込みであって、${\displaystyle N}$ と ${\displaystyle M}$ は推移的クラスであって、${\displaystyle j}$ は ${\displaystyle N}$ のパラメータを用いた集合論の論理式によって ${\displaystyle N}$ 内で定義可能なものとする。このとき、${\displaystyle j}$ は順序数を順序数に写し、狭義単調増加でなければならない。また、${\displaystyle j(\omega )=\omega }$ となる。全ての ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ について ${\displaystyle j(\alpha )=\alpha }$ であって ${\displaystyle j(\kappa )>\kappa }$ であるとき、${\displaystyle \kappa }$ を ${\displaystyle j}$ の臨界点という。

${\displaystyle N}$ が V であるとき、${\displaystyle \kappa }$ (${\displaystyle j}$ の臨界点) は常に可測基数、すなわち、κ は不可算基数であって、${\displaystyle \kappa }$ 上の ${\displaystyle \kappa }$-完備な非単項超フィルターが存在するものとなる。具体的には、フィルターは ${\displaystyle \{A\mid A\subseteq \kappa \land \kappa \in j(A)\}}$ としてとることができ、これにより初等埋め込みと超フィルターとの間に全単射が定義される。^[2]

${\displaystyle N}$ と ${\displaystyle M}$ が等しく、${\displaystyle j}$ が ${\displaystyle N}$ 上の恒等写像であるとき、${\displaystyle j}$ は自明であるという。推移的クラス ${\displaystyle N}$ が ZFC の内部モデルであって ${\displaystyle j}$ が臨界点を持たない、すなわち全ての順序数がそれ自身に写されるとき、${\displaystyle j}$ は自明となる。^[2]