フォン・ノイマン宇宙

この累積的階層は順序数のクラスによって添え字付けられた集合 V_α の集まりであり、特に、V_α は階数 α 未満の集合全てによる集合である。ゆえに各順序数 α に対して集合 V_α が超限帰納法によって以下のように定義できる:

• V₀は空集合 {} とする。
• 各順序数 β に対して、V_β+1 は V_β の冪集合とする。
• 各極限順序数 λ に対して、V_λは、次の和集合とする:

  ${\displaystyle V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }}$

この定義で重要なのは、ZFCのある式 φ(α, x) で「集合 x は V_α に属する」ことを定義できることである。

クラス V は全ての V-階層の和、すなわち:

${\displaystyle V:=\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$

と定義される。

同じ定義だが、各 α の階層を

${\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta })}$

と定義できる、ここで ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ は X の冪集合のことである。

集合 S の階数は S ⊆ V_α となる最小の α とも言える。