論理和の消去

論理和の消去(ろんりわのしょうきょ、英: Disjunction elimination)(論理積の除去、選言削除則、${\displaystyle \lor }$-除去則^[1][2]は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。この規則を用いることによって、論理式の証明から論理和を削除することができる。もし命題「${\displaystyle P}$」から命題「${\displaystyle Q}$」が導き出され、かつ命題「${\displaystyle R}$」からも命題「${\displaystyle Q}$」が導き出されるとき、「${\displaystyle P}$もしくは${\displaystyle R}$」のいずれかが真である場合に、「${\displaystyle Q}$」が真となるという推論規則である。PもしくはRのうち少なくとも一方が正しく、QであるためにはPとRのうちどちらかが正しければよいから、Qは正しい、ということである。例えば、下記の例が挙げられる。

もし私が屋内にいれば、私は財布を持っている。

もし私が屋外にいれば、私は財布を持っている。

私は屋内にいるか、屋外にいるかのどちらかである。

したがって、私は財布を持っている。

この規則は、下記のように記述することができる。

${\displaystyle {\frac {P\to Q,R\to Q,P\lor R}{\therefore Q}}}$

ここで、命題「${\displaystyle P\to Q}$」、命題「${\displaystyle R\to Q}$」、命題「${\displaystyle P\lor R}$」が証明のなかのどの行に出てきても、その後の行において、 命題「${\displaystyle Q}$」を示すことができるものとされている。