質量作用の法則 (半導体)

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半導体において自由電子と正孔は、電気伝導を与えるキャリアである。 キャリアの数がバンド状態の数より遥かに小さい場合、キャリア濃度はボルツマン分布で近似でき、以下の結果を与える。

自由電子濃度nは次のように近似できる。

${\displaystyle n=N_{c}{\text{ exp}}\left[-{\frac {(E_{c}-E_{F})}{kT}}\right]}$

ここで

• E_cは伝導帯のエネルギー
• E_Fはフェルミ準位
• kはボルツマン定数
• Tはケルビン単位の温度
• N_cは伝導帯端での有効状態密度で、${\displaystyle \textstyle N_{c}=2\left({\frac {2\pi m_{e}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{3/2}}$と与えられる。ここでm*_eは電子の有効質量、hはプランク定数である。

自由正孔濃度pも同様な式で与えられる。

${\displaystyle p=N_{v}{\text{ exp}}\left[-{\frac {(E_{F}-E_{v})}{kT}}\right]}$

ここで

• E_Fはフェルミ準位
• E_vは価電子帯のエネルギー
• kはボルツマン定数
• Tはケルビン単位の温度
• N_vは価電子帯端での有効状態密度で、${\displaystyle \textstyle N_{v}=2\left({\frac {2\pi m_{h}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{3/2}}$と与えられる。m*_hは正孔の有効質量、hはプランク定数である。

上述のキャリア濃度の式を用いると、質量作用の法則は次のように書ける。

${\displaystyle np=N_{c}N_{v}{\text{ exp}}\left(-{\frac {E_{g}}{kT}}\right)=n_{i}^{2}}$

ここでE_gはバンドギャップエネルギーE_g = E_c − E_vである。