超コンパクト基数

${\displaystyle \lambda }$ を 順序数とする、${\displaystyle \kappa }$ が ${\displaystyle \lambda }$-超コンパクト であるとは、集合論の宇宙 ${\displaystyle V}$ から推移的内部モデル ${\displaystyle M}$ へのある初等埋め込み ${\displaystyle j}$ が存在して、${\displaystyle \kappa }$ がその臨界点であって、${\displaystyle j(\kappa )>\lambda }$ と

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

が成り立つ、すなわち、${\displaystyle M}$ が ${\displaystyle \lambda }$-列について閉じていることである。

このとき、${\displaystyle \kappa }$ が単に 超コンパクト であるというのは、全ての順序数 ${\displaystyle \lambda }$ について ${\displaystyle \lambda }$-超コンパクトであることを指す。

別の定義としては、不可算基数 ${\displaystyle \kappa }$ が超コンパクトであるとは、${\displaystyle \vert A\vert \geq \kappa }$ であるような全ての ${\displaystyle A}$ について、${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ 上の正規測度が存在することをいう。

ここで、${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ は

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}$

のことである。

${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ 上の超フィルター ${\displaystyle U}$ が fine であるとは、それが ${\displaystyle \kappa }$-完備で全ての ${\displaystyle a\in A}$ について ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U}$ であることを言う。${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ 上の正規測度とは、${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ 上の fine な超フィルター ${\displaystyle U}$ であって、次の性質を満たすものである: 任意の写像 ${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$ で ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}$ を満たすものは必ず ${\displaystyle U}$ のある元の上で定数写像になっている。ここで "${\displaystyle U}$ のある元の上で定数写像"とは、ある ${\displaystyle a\in A}$ について ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}$ であることである。