連結和

2つの m-次元多様体の連結和は、各々の多様体の中にある球を削除し、境界として現れる球面を互いに貼り合わせる（英語版）(gluing together)ことにより得ることができる。

多様体が双方とも向きつけられていれば、貼りあわせ写像を反対向きにとることにより、一意に連結和が定義される。構成は球の選び方にかかわらず、結果は同相の下に一意である。滑らかな圏ではこの操作は可能で、結果は微分同相の下に一意である。滑らかな圏での場合は、微妙な問題があり、球の境界の間のすべての微分同相が、たとえ向き付けを正しく選択したとしても、合成されたときに同じ多様体を与えるとは限らない。たとえば、ミルナー　(Milnor)　は、2つの 7-次元胞体がを境界に沿って貼りあわせると、結果はエキゾチック球面（英語版）(exotic sphere)となり、7-球に同相ではあるが微分同相ではなくなることをしめした。しかしながら、張り合わせる標準的な方法が存在して、連結和を一意に定義することができる。この一意性は円板定理（英語版）(disc theorem)に大きく依存していて、すべて明らかになっているわけではない。

連結和の操作は ${\displaystyle \#}$ により表す。たとえば、${\displaystyle A\#B}$ は ${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle B}$ の和を表す。

連結和の操作は、同一視する写像として球 ${\displaystyle S^{m}}$ を持っている、すなわち、${\displaystyle M\#S^{m}}$ は ${\displaystyle M}$ と同相（もしくは、微分同相）である。

閉曲面の分類は、トポロジーの基本的で歴史的に重要で、任意の閉曲面は球面といくつかのトーラスといくつかの実射影平面の連結和として表される。

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${\displaystyle M_{1}}$ と ${\displaystyle M_{2}}$ を 2つの等しい次元の滑らかな向きつけられた多様体とし、${\displaystyle V}$ を滑らかな向きつけられた閉多様体で、閉部分多様体として ${\displaystyle M_{1}}$ と ${\displaystyle M_{2}}$ の双方へ埋め込まれているとする。さらに、法バンドル（英語版）(normal bundle)の同型

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

で互いのファイバーで向き付けを保つものが存在すると仮定すると、写像 ${\displaystyle \psi }$ は向きつけを保つ微分同相写像

${\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,}$

を引き起こす。ここに各々の法バンドル ${\displaystyle N_{M_{i}}V}$ は、${\displaystyle V}$ の近傍 ${\displaystyle N_{i}}$ で微分同相として同一視し、写像

${\displaystyle N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$

は向きつけを保存する法バンドル上の微分同相の接合(involution)

${\displaystyle v\mapsto v/|v|^{2}}$

である。${\displaystyle V}$ に沿った ${\displaystyle M_{1}}$ と ${\displaystyle M_{2}}$ の連結和は、向き付けを保つ微分同相により互いに近傍どうしを張り合わせることにより得られる

${\displaystyle (M_{1}\setminus V)\bigcup _{N_{1}\setminus V=N_{2}\setminus V}(M_{2}\setminus V)}$

である。和はときどき、

${\displaystyle (M_{1},V)\#(M_{2},V).}$

と書かれることもある。この微分同相のタイプは、2つ ${\displaystyle V}$ の埋め込みと ${\displaystyle \psi }$ の選択に依存する。

大まかに言うと、各々の部分多様体 ${\displaystyle V}$ の法線方向のファイバーは、${\displaystyle V}$ のひとつの点を含み、${\displaystyle V}$ に沿った連結和は次のセクションで述べるように、各々のファイバーにそって単連結な連結和である。このことにより、${\displaystyle V}$ に沿った連結和は、ファイバー和(fiber sum)とも呼ばれる。

${\displaystyle V}$ が点である場合は、前のセクションの点での連結和を再現する。

もうひとつの得に重要な例として、${\displaystyle V}$ の次元が ${\displaystyle M_{i}}$ の次元よりも 2 以下の多様体の場合がある。オイラー類が

${\displaystyle e(N_{M_{1}}V)=-e(N_{M_{2}}V)}$

という反対の場合であっても、法バンドルの同型写像 ${\displaystyle \psi }$ が存在する。

さらに、この場合には、法バンドルの構造群は円群(circle group) ${\displaystyle SO(2)}$ である。このことからは、埋め込みの選択は標準的に ${\displaystyle V}$ から円への写像のホモトピークラスの群と同一視できることが帰結する。このことより直ちに、一次の整数係数コホモロジー群 ${\displaystyle H^{1}(V)}$ と同値であることが分かる。従って、和の微分同相のタイプは、${\displaystyle \psi }$ の選択と ${\displaystyle H^{1}(V)}$ の元の選択に依存する。

余次元 2 の ${\displaystyle V}$ に沿った連結和は、シンプレクティック多様体の圏で考えることもでき、この和をシンプレクティック和（英語版）(symplectic sum)と呼ぶ。

連結和は、多様体の局所作用素であり、この意味は、${\displaystyle V}$ の近傍でのみ和に取って代わる。この意味は、${\displaystyle V}$ の共通部を持たない集合の 2つのコピー部分で張り合わせて、${\displaystyle M}$ とした多様体上で、和を作成することができることを言っている。また、2-球面を 2つの異なる点で張り合わせた連結和は、2-トーラスを生成する。