階乗進法

この記数法の拡張として、小数を表すために小数第n位の重みを1/n!とする方法があり、これによって任意の有理数を有限小数で表現できるという特徴がある。この方法で拡張した場合、小数第1位は常に0となる。 以下に一部の変換表を示す。ただし、全て左辺は十進法である。

${\displaystyle 1/2=0.0\ 1_{!}}$

${\displaystyle 1/3=0.0\ 0\ 2_{!}}$

${\displaystyle 2/3=0.0\ 1\ 1_{!}}$

${\displaystyle 1/4=0.0\ 0\ 1\ 2_{!}}$

${\displaystyle 3/4=0.0\ 1\ 1\ 2_{!}}$

${\displaystyle 1/5=0.0\ 0\ 1\ 0\ 4_{!}}$

${\displaystyle 1/6=0.0\ 0\ 1_{!}}$

${\displaystyle 5/6=0.0\ 1\ 2_{!}}$

${\displaystyle 1/7=0.0\ 0\ 0\ 3\ 2\ 0\ 6_{!}}$

${\displaystyle 1/8=0.0\ 0\ 0\ 3_{!}}$

${\displaystyle 1/9=0.0\ 0\ 0\ 2\ 3\ 2_{!}}$

${\displaystyle 1/10=0.0\ 0\ 0\ 2\ 2_{!}}$

${\displaystyle 1/11\ \ =0.0\ 0\ 0\ 2\ 0\ 5\ 3\ 1\ 4\ 0\ A_{!}}$

${\displaystyle 2/11\ \ =0.0\ 0\ 1\ 0\ 1\ 4\ 6\ 2\ 8\ 1\ 9_{!}}$

${\displaystyle 9/11\ \ =0.0\ 1\ 1\ 3\ 3\ 1\ 0\ 5\ 0\ 8\ 2_{!}}$

${\displaystyle 10/11=0.0\ 1\ 2\ 1\ 4\ 0\ 3\ 6\ 4\ 9\ 1_{!}}$

${\displaystyle 1/12\ \ =0.0\ 0\ 0\ 2_{!}}$

${\displaystyle 5/12\ \ =0.0\ 0\ 2\ 2_{!}}$

${\displaystyle 7/12\ \ =0.0\ 1\ 0\ 2_{!}}$

${\displaystyle 11/12=0.0\ 1\ 2\ 2_{!}}$

${\displaystyle 1/15=0.0\ 0\ 0\ 1\ 3_{!}}$

${\displaystyle 1/16=0.0\ 0\ 0\ 1\ 2\ 3_{!}}$

${\displaystyle 1/18=0.0\ 0\ 0\ 1\ 1\ 4_{!}}$

${\displaystyle 1/20=0.0\ 0\ 0\ 1\ 1_{!}}$

${\displaystyle 1/24=0.0\ 0\ 0\ 1_{!}}$

${\displaystyle 1/30=0.0\ 0\ 0\ 0\ 4_{!}}$

${\displaystyle 1/36=0.0\ 0\ 0\ 0\ 3\ 2_{!}}$

${\displaystyle 1/60=0.0\ 0\ 0\ 0\ 2_{!}}$

${\displaystyle 1/72=0.0\ 0\ 0\ 0\ 1\ 4_{!}}$

${\displaystyle 1/120=0.0\ 0\ 0\ 0\ 1_{!}}$

${\displaystyle 1/144=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 5_{!}}$

${\displaystyle 1/240=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 3_{!}}$

${\displaystyle 1/360=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 2_{!}}$

${\displaystyle 1/720=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 1_{!}}$

一部の無理数は、階乗進法に変換したときに特徴的な小数表示を持つ。例えば以下のようなものである。

${\displaystyle e=1\ 0.0\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\cdots _{!}}$

${\displaystyle e^{-1}=0.0\ 0\ 2\ 0\ 4\ 0\ 6\ 0\ 8\ 0\ A\ 0\ C\ 0\ E\cdots _{!}}$

${\displaystyle \sin(1)=0.0\ 1\ 2\ 0\ 0\ 5\ 6\ 0\ 0\ 9\ A\ 0\ 0\ D\ E\cdots _{!}}$

${\displaystyle \cos(1)=0.0\ 1\ 0\ 0\ 4\ 5\ 0\ 0\ 8\ 9\ 0\ 0\ C\ D\ 0\cdots _{!}}$

${\displaystyle \sinh(1)=1.0\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\cdots _{!}}$

${\displaystyle \cosh(1)=1.0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\cdots _{!}}$

階乗進法によく似た位取り記数法として、素数階乗進法が存在する。これは下からn桁目の重みを${\displaystyle p_{n-1}\#}$としたものである。

この記数法の一意性は以下の恒等式によって保証される。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(p_{i+1}-1)\cdot p_{i}\#=p_{n+1}\#-1}$

ただし、${\displaystyle n\#}$は素数階乗を表す。

• 複数の底の混在する記数法
• 広義の記数法
• 位取り記数法