随伴公式 (代数幾何学)

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X を滑らかな（英語版）(smooth)代数多様体、あるいは、滑らかな複素多様体とし、Y を X の部分多様体とする。埋め込み写像 Y → X を i と書き、X の中の Y のイデアル層（英語版）(ideal sheaf)を ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ と書く。i に対する余法完全系列（英語版）(conormal exact sequence)は、

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to i^{*}\Omega _{X}\to \Omega _{Y}\to 0}$

であり、ここに Ω は余接束を表す。この完全系列の行列式は、自然な同型

${\displaystyle \omega _{Y}=i^{*}\omega _{X}\otimes \operatorname {det} ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee },}$

を導く。ここに ${\displaystyle \vee }$ はラインバンドルの双対を表す。

D を X 上の滑らかな因子とすると、D の法バンドル（英語版）(normal bundle)は X 上のラインバンドル ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ へ拡張され、D のイデアル層はその双対 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D)}$ に対応する。余法バンドル ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ は ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$ であり、上の式と組み合わせると、次の式を得る。

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D))\ .}$

標準類のことばでは、このことは、

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$

であることを意味している。これらの 2つの式を随伴公式(adjunction formula)と呼ぶ。

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制限写像 ${\displaystyle \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}}$ はポアンカレの留数(Poincaré residue)と呼ばれる。X が複素多様体の場合は、切断上で、ポアンカレの留数は次のように表現できる。函数 f が零点集合 D 上の開集合を固定すると、U 上の${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ の任意の切断が s/f として書くことができる。ここに s は U 上の正則函数である。η を ${\displaystyle \omega _{X}}$ の U 上の切断とすると、ポアンカレの留数は、写像

${\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0}}$

であり、すなわち、体積形式 η へベクトル場 ∂/∂f を適用することで構成され、従って、正則函数 s による掛け算となる。ある i に対し、 ∂f/∂z_i ≠ 0 となるような U の局所座標 z₁, ..., z_n が存在すると、この式は

${\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}}$

とも表すことができる。

ポアンカレの留数の見方としてもう一つの方法は、同型

${\displaystyle \omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}$

として、随伴公式を解釈する方法である。前述のように、開集合 U 上では、${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$ の切断は、正則函数 s と微分形式 df/f の積である。ポアンカレの留数は、${\displaystyle \omega _{D}}$ の切断と ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$ の切断とのウェッジ積を取る写像である。

余法(conormal)な完全系列が短完全系列ではない場合には、随伴公式は成立しない。しかしながら、これが成立しないことを D の特異点を持った X の特異性と関連付けることができる。この種類の定理は、随伴公式の逆(inversion of adjunction)と呼ばれる。これらは現代の双有理幾何学での重要なツールである。