集合半環

有界区間の直積全体の成す集合半環を ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ とし、この半環上の測度 μ を一つ定める。

初めに示すべきは、μ が次に述べる意味で加法的であることである。P が ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ に属する超矩形で、P が ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ に属する元 P_i のなす有限列 (P_i) の非交和に等しいならば、超矩形 P の体積は各元 P_i の体積の和に等しい^[6]。

従って μ が測度であること、つまり σ-加法性を示すには、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ に属する超矩形 P が ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ の可算個の小超矩形の非交和

${\displaystyle P=\coprod _{i=1}^{+\infty }P_{i}}$

に分解されるとき、等式

${\displaystyle \mu (P)=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})}$

が成り立つことを示さねばならない。

一方の不等号を示すには特に技巧を要しない。自然数 r を固定して、差集合 P ∖ (P₁ ∪ … ∪ P_r) は ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ の生成する集合環に属するから、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ の有限個の互いに素な元 F₁, …, F_s の有限合併に表せる。従って、i を 1 から r まで動かすときの P_i をすべて含む超矩形 P に対し、μ の正値性と加法性から

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}\mu (P_{i})\leq \mu (P)}$

が得られ、r を無限大へ飛ばして

${\displaystyle \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})\leq \mu (P)}$

を得る。

逆の不等号は、正数 ε > 0 を取り、各 P_i を含むように開区間の直積となる超矩形 Q_i でその体積が μ(P_i) + ε⁄2ⁿ 以下となるようなものを考える。同様に P を含むように閉区間の直積となる超矩形 Q をその体積が μ(P) − ε 以上になるようにとる。超矩形 Q は Rⁿ の有界閉集合ゆえコンパクトで、Q_i たちはその開被覆を与えるから、添字集合 I₀ が有限であるような部分族 (Q_i)_i∈I0 でやはり P を被覆するようなものが存在する。集合半環 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 上での μ の有限加法性と正値性により、（Q がこの集合半環の有限個の合併に書けない場合や、合併が非交和でなくとも）集合の包含関係

${\displaystyle Q\subset \bigcup _{i\in I_{0}}Q_{i}}$

から、不等式

${\displaystyle \mu (Q)\leq \sum _{i\in I_{0}}\mu (Q_{i})}$

が得られ、より強く (a fortiori)

${\displaystyle \mu (Q)\leq \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (Q_{i})}$

が成り立つ。以上を合わせて、不等式の鎖

${\displaystyle \mu (P)-\epsilon \leq \mu (Q)\leq \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (Q_{i})\leq \sum _{i=1}^{+\infty }(\mu (P_{i})+{\epsilon \over 2^{i}})=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})+\epsilon }$

が得られるから、あとは ε を 0 にする極限をとって結論を得る。