集合環

カラテオドリの拡張定理として知られるルベーグ測度の構成の一般化において、σ-集合代数上の測度は比較的抽象的な方法で構成されるが、その最初の段階は単純である。つまり、構成の初めには集合環 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ の元に対して測度を定義する。あるいは集合環 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ を生成する集合半環から構成を始めることもできる。

実数直線 R 上のルベーグ測度の例において、構成の素とする集合半環は R の有界区間全体の成す族であり、対応する集合環は有界区間の有限合併として得られる部分集合全体の成す集合族である。

この構成の一種として、σ-集合代数と類似の概念を用いるものがある。この文脈ではσ-集合環は可算合併に関して閉じている集合環、δ-集合環は可算交叉に関して閉じている集合環を言う。

集合環を以下のような条件によって定義することもできる。

同値な定義

X の部分集合族 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ が集合 X 上の集合環であるとは、

1. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ は空でない。
2. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ は対称差に関して閉じている。
3. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ は有限交叉に関して閉じている。

の三条件を満たすことを言う。

上で基本性質として注意したことは、この特徴付けが先の定義から導かれることを意味する。逆に、${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ がこの三条件を満たすならば、これは差に関して閉じていて (A ∖ B = A Δ (A ∩ B)) かつ合併に関しても閉じている (A ∪ B = (A Δ B) Δ (A ∩ B)) ことが示せるからこれは集合環である。

集合 X の部分集合全体の成すブール代数（冪集合代数）は、対称差を加法（単位元は空集合 ∅）とし交叉を乗法（単位元は全体集合 X）とするブール環の構造を与えることを思い出そう。この構造に対して、X 上の集合環は、加法に関して部分群で乗法に関して閉じているから、擬環構造に対する部分構造を与えている。X 上の集合代数の場合も同様に、冪集合代数の部分集合として、加法に関して部分群で、乗法に関して閉じていて単位元も含むから、こちらは単位的環としての部分構造になっている^[4]。

1. ↑ 'The words "clan" and " field" are also used in the literature for "ring" and "algebra" respectively.' Malempati Madhusudana Rao (1987), Measure theory and integration, Pure and Applied Mathematics: A Wiley-Interscience Series of Texts, Wiley-Interscience publication, ISBN 9780471828228  p.14
2. ↑ 出典は数多いが、例えば Paul Halmos (1950). Measure Theory. Van Nostrand., p. 19.
3. ↑ Adriaan Zaanen (1967). Integration (2 ed.). North Holland., p. 26; あるいは Ole A. Nielsen (1997). An introduction to integration and measure theory. Wiley-interscience. ISBN 978-0-471-59518-2., p. 125.
4. ↑ 集合環とブール環の間の構造の関係性については Halmos, op. cit., p. 21-22 に説明がある。