順序指数体

順序体 K 上で定義された指数函数 (exponential) E とは、加法群 K から乗法群 K^× の上への狭義単調増大な群準同型を言い、順序体 K とその上の指数函数 E との対 (K, E) を順序指数体と呼ぶ。

• 順序指数体の標準的な例は、実数全体の成す順序体 ℝ に a^x (a > 1) の形に書ける任意の指数函数を併せたものである。そのような函数のひとつに、自然指数函数 E(x) ≔ e^x がある。順序体 ℝ と自然指数函数との対として与えられる順序指数体を ℝ_exp で表す。1990年代には ℝ_exp がモデル完備（英語版）であることが示され、ウィルキーの定理（英語版）と呼ばれる。この結果とパフ函数（英語版）に関する Khovanskiĭ の定理を併せれば ℝ_exp が o-極小（英語版）でもあることが示される^[1]。アルフレッド・タルスキ―が ℝ_exp の決定可能性の問題を提起したので、いまではそれをタルスキーの指数函数問題（英語版）と呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば ℝ_exp が決定可能であるということは知られている^[2]。
• 超現実数全体の成す順序体 𝐍𝐨 には ℝ 上の自然指数函数 exp の延長となる指数函数が定義できる。𝐍𝐨 はアルキメデス性を持たないから、これは非アルキメデス順序指数体の例を与えるものである。
• 対数指数超級数（英語版）全体の成す順序体 𝕋^LE は、標準的な指数函数を持つような仕方で具体的に構成される。

形式指数体あるいは指数閉体とは、（本項で言う意味での）指数函数 E を定義可能な順序体を言う。任意の形式指数体 K に対し、K 上の指数函数 E を適当な自然数 n に対して 1 + 1/n < E(1) を満たすように選ぶことができる^[3]。

• 任意の順序指数体 K は冪根閉 (root-closed) である。すなわち K の任意の正元が任意の正整数 n に対する n-乗根を持つ（別な言い方をすれば、K の正元全体の成す乗法群が可除群を成す）。このことは、任意の a > 0 に対して ${\textstyle E\left({\frac {1}{n}}E^{-1}(a)\right)^{n}=E(E^{-1}(a))=a}$ となることを見ればわかる。
  • これにより、任意の順序指数体はユークリッド体（英語版）になることがわかる。
  • これにより、任意の順序指数体は順序ピタゴラス体（英語版）であることがしたがう。
• 任意の実閉体が必ずしも形式指数体となるわけではない。例えば、実代数的数全体の成す体には指数函数を入れることができない。なぜならば、実数体の任意の形式指数部分体 K において、指数函数 E は適当な元 a ∈ K (a > 1) に対して E(x) = a^x の形をしていなければならない、にも拘らず ${\textstyle E({\sqrt {2}})=a^{\sqrt {2}}}$ が a > 1 のとき代数的でないことがゲルフォント–シュナイダーの定理から従う。
  • その帰結として、形式指数体全体の成すクラスは初等類（英語版）でないことが言える（実数体と実代数的数体は初等同値（英語版）な構造であった）。
• 形式指数体全体の成すクラスは擬初等類（英語版）である。これは体 K が指数閉であるための必要十分条件が、全射 E₂: K → K⁺ が存在して E₂(x + y) = E₂(x)E₂(y) かつ E₂(1) = 2 となることであり、E₂ に関するこれらの性質は公理化可能であることによる。