類関数

群 G 上の函数 f が中心的あるいは類函数であるとは、G の任意の元 s, t に対して

${\displaystyle f(sts^{-1})=f(t)}$

が成り立つときに言う。あるいは同じことだが、自然な全単射 (s, t) ↦ (u = st, v =s⁻¹) を考えれば、任意の u, v に対して

${\displaystyle f(uv)=f(vu)}$

を満たすということもできる。

可換体 K に対し、群 G は（G から K への写像全体の成す）配置集合 K^G に

s.f: t ↦ f(sts⁻¹)

で、自然に作用する。G 上の K-値類函数はこの表現の不動点であり、従ってその全体はベクトル空間 K^G の部分線型空間を成す。

G 上の K-値類函数の成すベクトル空間は、G の共軛類全体の成す集合を C とすれば、K^C に自然に同型である。

• アーベル群上の任意の函数は中心的である。実際、アーベル群の共軛類は全て単元集合である。
• もう少し自明でない類函数の例は、アーベル群に値をとる群準同型によって与えられる。
• 他に類函数の例として、ねじれ群 G から自然数半群 ℕ^∗ への、群の各元にその位数を割り当てる写像が挙げられる。

G をコンパクト群として、その上のハール測度 λ を平行移動不変な唯一の確率測度として定義する。L²(G) は G 上の自乗 λ-可積分函数全体の成すヒルベルト空間とすれば、この空間上に以下の二つの演算を入れることができる:

• 結合的、分配的で定数函数 1 を単位元とする畳み込み積

  ${\displaystyle f*g(s)=\int _{G}f(t)g(st^{-1})d\lambda (t)\quad (f,g\in L^{2}(G)),}$

• 対合

  ${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\quad (f\in L^{2}(G)).}$

これらにより L²(G) は対合バナハ環となり、さらにヒルベルト環（ドイツ語版、英語版）を成す。この環に関する研究は G の連続表現に関係する（ピーター–ワイルの定理（英語版）を参照）。

この関係性は L²(G) の中心を通じて示される。実際、直接計算により可測函数 f, g が自乗可積分ならば

${\displaystyle f*g(s)-g*f(s)=\int _{G}g(t^{-1})[f(st)-f(ts)]\,d\lambda (t)}$

であり、また函数 f が L²(G) の中心に入る必要十分条件は、任意の g ∊ L²(G) に対して二つの畳み込み f ∗ g と g ∗ f が殆ど至る所一致することだが、これらは連続ゆえ至る所一致する。したがってこれは G の任意の u, v に対して f(uv) = f(vu) と同値である。

L²(G) の中心は、G 上の自乗可積分かつ中心的な可測函数（の類）全体の成す閉部分空間である。

• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear representations of finite groups. Graduate Texts in Mathematics. 42. Berlin: Springer-Verlag

• 有限群上の類函数（フランス語版）
• 位相群の群環: 局所コンパクト群の C*-環

• Class Function - PlanetMath.（英語）