Eins

Die Eins (1) ist die natürliche Zahl zwischen null und zwei. Sie ist ungerade, eine Quadrat- und eine Kubikzahl.

Schnelle Fakten Darstellung, Mathematische Eigenschaften ...

Eins
1
Darstellung
Römisch	000001I
Dual	1
Oktal	1
Duodezimal	1
Hexadezimal	1
Arabisch	١
Chinesisch	一 / 弌 /壹
Indisch	१
Mathematische Eigenschaften
Vorzeichen	positiv
Parität	ungerade
Faktorisierung	$1$ (keine Primzahl)
Teiler	1

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Etymologie

Das germanische Zahlwort mittelhochdeutsch, althochdeutsch ein geht mit gleichbedeutenden anderen Wörtern indogermanischer Sprachen auf indogermanisch oi-no-s zurück.^[1]

Eins in verschiedenen Sprachen

Deutsch: eins
Englisch: one
Spanisch: uno
Französisch: un
Italienisch: uno
Russisch: один (odin)
Portugiesisch: um
Indonesisch: satu
Esperanto: unu

Mathematik

Die Zahl 1 ist keine Primzahl, aber Teiler jeder natürlichen Zahl. Sie wird oft als die kleinste natürliche Zahl genommen (manche Autoren zählen jedoch die natürlichen Zahlen von null an). Ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, das definitionsgemäß den Wert 1 hat. Die $1$ wird häufig als eine der fünf wichtigsten Konstanten der Analysis bezeichnet (neben 0, π, e und i). Die eulersche Identität

{\begin{matrix}e^{\mathrm {i} \,\pi }+1=0\end{matrix}}

stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen diesen Konstanten her.

Die 1 wird auch in anderen Bedeutungen in der Mathematik verwendet, wie als neutrales Element bei der Multiplikation in einem Ring, genannt Einselement. In diesen Systemen können andere Rechenregeln gelten, sodass $1+1$ verschiedene Bedeutungen hat und verschiedene Resultate ergeben kann. Mit 1 werden in der linearen Algebra auch Einsvektoren und Einsmatrizen, deren Elemente alle gleich dem Einselement sind, und die identische Abbildung bezeichnet.

Eine einstellige Verknüpfung ist eine Verknüpfung mit nur einem Operanden. Ein einfaches Beispiel einer einstelligen Verknüpfung ist das unäre Minus zur Bildung der Gegenzahl einer Zahl.

Die Zahl Eins ist eine Størmer-Zahl und in allen Fällen die erste (positive) Polygonalzahl. In der Fibonacci-Folge bildet die Eins das zweite sowie dritte Element. Weiterhin gilt die Eins als erste Glückliche Zahl.

Die Zahl Eins ist innerhalb der Punktrechnung „neutrales Element“: Dividiert man eine Zahl durch 1 (jede Zahl ist durch 1 teilbar), oder multipliziert oder potenziert man sie mit 1, so bleibt der Wert der Zahl unverändert.

Wird eine Zahl mit 0 potenziert, die ungleich 0 ist, so ist das Ergebnis per Definition 1 $(1^{0}=1)$ . Die Zahl 0 potenziert mit sich selbst bleibt entweder undefiniert oder wird, wenn zweckmäßiger, ebenfalls als 1 definiert.

Als einelementige Menge, Elementarmenge, Einermenge oder (englisch) Singleton werden in der Mengenlehre diejenigen Mengen bezeichnet, die genau ein Element enthalten. Eine Menge ist also einelementig, genau dann, wenn sie die Mächtigkeit eins hat. Beispielsweise ist $\{1\}$ eine einelementige Menge, aber auch $\{\{1,2,3\}\}$ , denn hier ist das einzige Element die Menge $\{1,2,3\}$ (welche wiederum nicht einelementig ist).

Geometrie

Eine Kugel hat nur eine Fläche und ein Kegel nur eine Kante.

Informatik

In der Informatik ist die Eins sehr wichtig, da sie zusammen mit der Null das Dualsystem (Binärsystem) bildet. Sie steht in der Maschinensprache für „an“ (on) und ist in Programmiersprachen als Datentyp boolesche Variable wiederzufinden (1 = wahr = true, 0 = falsch = false).

In der Datenmodellierung (speziell im Entity-Relationship-Modell), in der Beziehungen und Häufigkeiten von Entitäten zueinander geklärt und beschrieben werden, spielt die Zu-1-Beziehung eine wichtige Rolle, da sie die Eindeutigkeit einer Zuordnung festlegt. Beispielsweise steht die Entität „Kfz“ zur Entität „Besitzer“ in einer N-zu-1-Beziehung: Ein Besitzer kann mehrere Kfz haben, aber jedes Kfz muss genau einen Besitzer haben.

Schreibweisen

Das Symbol 1

Eine handschriftliche 1 mit Aufstrich, als senkrechte Linie und mit Auf- und Unterstrich

Das Symbol 1 wird als Ziffer des Stellenwertsystems verwendet. Steht die Ziffer 1 allein, so bedeutet sie nach üblicher Interpretation die „Zahl Eins“. Sie ist die größte Ziffer im Dualsystem.

In Deutschland wird die Ziffer 1 gemäß der Zahlenschreibweise der lateinischen Ausgangsschrift handschriftlich in zwei Zügen gezeichnet: ein kleinerer Schrägstrich von links unten nach rechts oben und davon ausgehend ohne abzusetzen ein längerer Abstrich. Diese Schreibweise deckt sich mit der Österreichischen Schulschrift (beide Versionen von 1969 und 1995) und der Schweizer Schnürlischrift. Im englischsprachigen Kulturkreis und in davon beeinflussten Gebieten wird eine 1 als senkrechter Strich gezeichnet.^[2] Die kontinentaleuropäische Schreibweise kann darum dort als 7 fehlinterpretiert werden.^[3] Einige Personen in der anglophonen Welt schreiben eine 1 mit Aufstrich und einem Unterstrich.^[2]

Beim Schreiben von römischen Zahlen und Binärzahlen wird die 1 auch in Deutschland, Österreich und in der Schweiz als Strich gezeichnet.

Periodischer Dezimalbruch

Die Zahl Eins besitzt neben der üblichen Schreibung als 1 eine periodische Dezimalbruchdarstellung als $0{,}{\bar {9}}=0{,}999\ldots$ .

Diese Aussage lässt sich auf verschiedene Arten beweisen:

Zurückführung auf einen bekannten unendlichen Dezimalbruch

\ 1:3\ ={\frac {1}{3}}

{\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots

3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots =0{,}999\ldots

1=0{,}999\ldots

Dieser Beweis ist weit verbreitet – es ist aber zu bedenken:

Die erste Zeile wird hier vorausgesetzt, wäre aber eigentlich mit ähnlichen Mitteln zu beweisen wie die Aussage selbst.
Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile verwendet auf der rechten Seite eine Eigenschaft von Grenzwerten, nämlich, dass die Multiplikation mit einer Konstanten (hier 3) mit der Grenzwertbildung vertauschbar ist.

Anordnung der reellen Zahlen

Die Gleichheit ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass zwei reelle Zahlen x und y nur dann verschieden sind, wenn es eine reelle Zahl z gibt, die zwischen ihnen liegt, für die also x < z < y oder y < z < x gilt. Die Existenz einer solchen Zahl z ist in diesem Fall nach Definition der Dezimalbruchentwicklung nicht möglich. Bei dieser Argumentation wird verwendet, dass jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung besitzt. Eine Tatsache, die es natürlich vorher schon zu beweisen wäre.

Grenzwert einer Zahlenfolge

$0{,}999\ldots$ ist der Grenzwert der Zahlenfolge $0{,}9\ \ 0{,}99\ \ 0{,}999\ \ 0{,}9999\ \ \ldots$

Das allgemeine Glied $a_{n}$ dieser Folge ist $a_{n}=0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}$ . Die Differenz zwischen $1$ und $a_{n}$ ist ${\tfrac {1}{10^{n}}}$ . Für jedes noch so kleine $\varepsilon >0$ findet man ein n mit ${\tfrac {1}{10^{m}}}<\varepsilon$ für alle $m>n$ . Also gilt nach Definition des Grenzwerts $0{,}999\ldots =1$ .

Geometrische Reihe

Für die periodische Dezimalbruchdarstellung $0{,}{\overline {9}}$ gilt

0{,}{\overline {9}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{10^{n}}}

.

Dies ist eine unendliche geometrische Reihe der Form $\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a\cdot q^{i}$ . Solche Reihen sind für $|q|<1\;$ konvergent und haben den Wert $a\cdot {\tfrac {1}{1-q}}$ . Mit $a={\tfrac {9}{10}}$ und $q={\tfrac {1}{10}}<1$ ergibt sich der Summenwert als

{\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{\frac {9}{10}}}=1

.

Andere Stellenwertsysteme

In anderen Stellenwertsystemen tritt an die Stelle der Ziffer 9 die höchste Ziffer des jeweiligen Systems. Im Binärsystem ist also 1 gleich $0{,}111\ldots$ , im Hexadezimalsystem gleich 0,FFF…, entsprechend in anderen Systemen.

Andere Zahlschriften

Die römische Zahl für eins ist I. In der hebräischen Schrift hat der Buchstabe Aleph (א) den Zahlenwert der Eins, in der arabischen Schrift dessen Äquivalent, das Alif (ا). Das arabische Schriftzeichen für die Zahl Eins ist ١; in Bengalî wird die Zahl ebenfalls ۱ geschrieben, in Devanagari १, in Malayalam ൧ und in Chinesisch 一, im Armenischen steht der Buchstabe Ա für 1.

Naturwissenschaften

Astronomie

Im Sonnensystem gibt es einen Stern, die Sonne, die von mehreren Planeten umkreist wird; der innerste sowie erster Planet ist Merkur, und die Erde besitzt als natürlichem Satelliten einen Mond.

Der Krebsnebel trägt die Nummerierung 1 im Messier-Katalog (M 1)

Der Zwergplanet Ceres trägt die Nummerierung 1.

Chemie

In der Chemie ist das chemische Element Wasserstoff, das erste des Periodensystems und das am häufigsten vorkommende Element im bekannten Universum, die Ordnungszahl 1. Auch die erste Hauptgruppe des Periodensystems besteht aus Wasserstoff sowie aus den Alkalimetallen Lithium, Natrium, Kalium, Rubidium, Cäsium und dem radioaktiven Francium.

Der Wortteil „Mono“, der für die Zahl eins steht, findet in der Chemie häufig Verwendung, etwa in der Bezeichnung von chemischen Verbindungen wie Kohlenstoffmonoxid. Auch bei den einwertigen Alkoholen zeigt sich dieser Bezug zur Eins, da sie jeweils nur eine Hydroxygruppe besitzen. Zu den typischen Vertretern zählen Ethanol, Methanol und Isopropanol. Monomere sind (potentielle) molekulare Wiederholeinheiten. Der Begriff hat in der Polymerchemie und der Biochemie unterschiedliche Bedeutungen.

Physik

In der Physik werden ausgewählte physikalische Konstanten in natürlichen Einheitensystemen auf 1 gesetzt, um die Form von Gleichungen zu vereinfachen; zum Beispiel ist die Lichtgeschwindigkeit in Planck-Einheiten gleich 1. Die Masse von einem Proton oder Neutron beträgt ebenfalls rund 1 u.

Mythos und Religion

In monotheistischen Religionen gibt es einen Gott. Zeitgenössische monotheistische Religionen sind das Judentum, das Christentum, der Islam, der Sikhismus, das Bahaitum, das Jesidentum sowie der Zoroastrismus.
Der erste Mensch nach christlicher, islamischer und jüdischer Lehre ist Adam.
Am ersten Tag der Schöpfung im Christentum und im Judentum erschafft Gott das Licht und trennt es von der Dunkelheit, wodurch Tag und Nacht entstehen.
Das Erste der Zehn Gebote im Christentum und im Judentum unterstreicht den Monotheismus und verbietet den Glaube an andere Götter.
Die Erste der Zehn „den Geist trübenden Leidenschaften“ (Geistesverschmutzungen)^[4] in der indischen Philosophie, insbesondere im Buddhismus und Hinduismus, ist die Gier. Diese „Befleckung“ oder „Trübung“ des Geistes wird als Ursache des Leidens verstanden.
Das Schᵉma Jisroel ist der älteste Ausdruck jüdischen Selbstverständnisses und beinhaltet die Einheit und Einsheit Gottes (adonai echad = Adonai (ist) Eins). Der Schma-Ausdruck umfasst die monotheistische Essenz des Judentums und den Zentralkontext der Tora, in welchen die Kernbotschaft der Nächstenliebe gebettet ist:

שְׁמַעיִשְׂרָאֵל יְהוָה אֱלֹהֵינוּ יְהוָה אֶחָד schəma jisrael adonai elohenu adonai echad
„Höre Israel! Adonai (ist) unser Gott; Adonai (ist) Eins“

(Dtn 6,4; siehe Talmud Sukkot 42a und Berachot 13b).

Weiteres

In der Zahlensymbolik wird die 1 als Symbol für alles, den Anfang oder Gott verwendet (siehe auch chinesische Zahlensymbolik).
Die Eins steht (in Geheimschriften) auch für „a“, den ersten Buchstaben und ersten Vokal des Alphabets.^[5]

Kalender

Das Jahr 1 ist das erste Jahr der Zeitrechnung nach Jesus Christus und der erste Tag des Jahres wird als Neujahr bezeichnet.
Die Zahl Eins markiert den Anfang von Prozessen bzw. Ereignissen, beispielsweise „Tag 1“, „Kapitel 1“ oder „Akt 1“.
Während Januar der erste Monat des Jahres ist, ist Montag der erste Wochentag.
1 Uhr kann sich auf die Uhrzeiten 1:00 und 13:00 beziehen.

Sprachliches

Wörter, die eine Einzigkeit ausdrücken, können mit dem griechischen Präfix mono- beginnen, etwa „Monokel“ oder „Monografie“, oder sie werden vom lateinischen singularis oder solus abgeleitet, beispielsweise „Singular“ oder „Solo“.
Wörter, die eine Einheitlichkeit ausdrücken, können vom lateinischen unus abgeleitet werden, beispielsweise „Union“ oder „Uniform“; desgleichen Wörter, die Einzigartigkeit darstellen, wie „Unikat“ oder „unifarben“.
Es gibt viele Redewendungen über die Zahl Eins in der deutschen Sprache. So wird „Nummer Eins“ als Bezeichnung für Personen benutzt, die in einem bestimmten Themengebiet die Besten sind.^[6] Weiterhin wird „eins zu eins“ für eine genaue Übereinstimmung benutzt, ebenfalls steht dieser Ausdruck auch für ein gleiches Verhältnis zwischen zwei Seiten.^[7]

Ordnungszahl

Während bei den meisten Zahlen zur Bildung der Ordnungszahl einfach eine Endung an die Grundzahl gehängt wird (zwei-ter, zwanzig-ster, dreißig-ster), haben die Zahlen 1 und 3 und ihre Zusammensetzungen unregelmäßige Formen (erster, dritter; hunderterster, hundertdritter).

Im Englischen haben nur die Ordnungszahlen von 1 bis 3 (first, second, third) und ihre Zusammensetzungen (twenty-third) eigene Formen, die übrigen enden auf -th (fourth, fifth, one hundredth).

Wird auf die Rang- oder Abfolge Bezug genommen, so wird der lateinische Stamm prim- verwendet, beispielsweise bei „Primus“ oder „Primzahl“.

Geschichte und Gesellschaft

Die Eins wird in vielen Ländern als Schulnote verwendet und steht unter anderem in Deutschland und Österreich für „sehr gut“, bezeichnet in der Schweiz jedoch die schlechteste Note.
Die „Eins“ als Zahlwort, hat in der griechischen Philosophie der Mathematik eine besondere, privilegierte Stellung. Die Eins ist das Maß und Prinzip der anderen Zahlen, an dem sie gemessen werden. So betrachtet ist sie selbst keine Zahl, sondern der ganzen Zahlenwelt übergeordnet.
In der antiken griechischen Philosophie, insbesondere im Platonismus, wird Das Eine (griechisch „to hen“) als das absolute höchste Prinzip definiert, das allem Sein zugrunde liegt und transzendental sowie jenseits sinnlicher Erfahrung ist. Aristoteles der Schüler von Platon betrachtete das Eine eher als das Prinzip der Bestimmtheit und als Grund für das Sein.
Der Fachbegriff Monas (von altgriechisch μονάς monás „Einheit, Einfachheit“) oder Monade bezieht sich naturphilosophisch auf eine gedachte Einheit von zugleich physischer und psychischer Bedeutung.
Personen, die nicht verheiratet, verlobt oder in einer sonstigen romantischen Beziehung sind, werden als „Singles“ bezeichnet.
Viele Fußballvereine bzw. Sportvereine tragen den Titel „1. FC“ oder „1. SC“, um zu zeigen, dass der jeweilige Verein der wichtigste oder älteste der Stadt bzw. Region ist.
Die Formel 1 ist ein weltberühmtes Autorennen.
Uno (italienisch und spanisch für eins), ein US-amerikanisches Kartenspiel, dessen primäres Ziel es ist, seine Karten möglichst schnell abzulegen, ist nach der Zahl Eins benannt.
Das „Erste Reich“ ist ein Synonym für das Heilige Römische Reich.
Die US-amerikanische 1-Cent-Münze wird als Penny bezeichnet.
George Washington war der erste Präsident der Vereinigten Staaten.
Die Bundesautobahn 1 verläuft von Puttgarden bei Fehmarn über Lübeck, Hamburg, Bremen, Osnabrück, Münster, Dortmund, Köln und Trier nach Saarbrücken.
+1 ist die Telefonvorwahl von den Vereinigten Staaten und von Kanada.
Der Widder ist das erste Tierkreiszeichen.

Kunst und Kultur

In der Musik ist die Eins der erste (meist betonte) Ton in einem Takt (Musik). Zum Nummer-eins-Hit wird ein Lied oder ein Album, wenn es mindestens für eine Woche den ersten Rang einer bestimmten Hitparade belegt hat. Er genießt damit in Charts einen besonders herausgehobenen Status.

1 ist der Name von einem Beatles-Album. Es ist das zwölfte Kompilationsalbum der britischen Musikgruppe The Beatles nach deren Trennung

Siehe auch

Weblinks

Commons: 1 (number) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: eins – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen