Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

Die quadratische Form

${\displaystyle t^{2}=n({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\sim T(p,n-1)}$

folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit

• ${\displaystyle n}$ einer Anzahl von Punkten
• ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$ ist ein Spaltenvektor mit ${\displaystyle p}$ Elementen
• ${\displaystyle {\mathbf {W} }}$ ist eine ${\displaystyle p\times p}$-Kovarianzmatrix

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Es sei ${\displaystyle x\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })}$ eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und ${\displaystyle {\mathbf {W} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })}$ (unabhängig von ${\displaystyle x}$) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix ${\displaystyle \mathbf {V} }$ und mit ${\displaystyle m=n-1}$. Dann ist die Verteilung von ${\displaystyle t^{2}}$: ${\displaystyle T^{2}(p,m)}$, Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle m}$.

Für die F-Verteilung ${\displaystyle F}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}}$.

Unter der Annahme, dass

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}}$

${\displaystyle p\times 1}$-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n}$

sei der Mittelwert. Die positiv definite ${\displaystyle p\times p}$-Matrix

${\displaystyle {\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)}$

sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix ${\displaystyle M}$ sei mit ${\displaystyle M'}$ bezeichnet). ${\displaystyle \mu }$ sei ein ${\displaystyle p\times 1}$-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

${\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).}$

${\displaystyle t^{2}}$ hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.

Wenn ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })}$ unabhängig sind und ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$ und ${\displaystyle {\mathbf {W} }}$ wie oben definiert sind, dann hat ${\displaystyle {\mathbf {W} }}$ eine Wishart-Verteilung mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden, so dass^[3]

${\displaystyle \mathbf {W} \sim W_{p}(V,n-1)}$

und ist unabhängig von ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$ und

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}(\mu ,V/n)}$.

Daraus folgt

${\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })\sim T^{2}(p,n-1).}$