Gluonenfeldstärketensor

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Mathematisch gesehen ist der Gluonenfeldstärketensor eine Krümmungsform auf einem Hauptfaserbündel, ähnlich wie es auch der elektromagnetische Feldstärketensor aus der Elektrodynamik ist. Im Gluonenfeldstärketensor verschwinden die quadratischen Beiträge jedoch nicht, wodurch die resultierenden Gleichungen im Gegensatz zu den Maxwell-Gleichungen aus der Elektrodynamik nicht mehr linear sind.

Aus mathematischer Sicht liegt das daran, dass die Eichgruppe ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ (dritte spezielle unitäre Gruppe) der Quantenchromodynamik nicht abelsch ist, während die Eichgruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ (erste unitäre Gruppe) der Elektrodynamik abelsch ist. Aus physikalischer Sicht liegt das daran, dass Gluonen eine Farbladung tragen und daher selbst der starken Wechselwirkung unterliegen, wohingegen Photonen keine elektrische Ladung tragen und daher nicht selbst der elektromagnetischen Wechselwirkung unterliegen. Beide Theorien sind dabei Spezialfälle der Yang-Mills-Theorie.

Fortan unterscheiden lateinische Indizes ${\displaystyle a,b=0,\ldots ,7}$ die verschiedenen Gluonen und griechische Indizes ${\displaystyle \mu ,\nu =0,\ldots ,3}$ die vier Komponenten ihrer Zustandsvektoren. Mit der Einsteinschen Summenkonvention, bei welcher über identische kontravariante (obere) und kovariante (untere) Indizes summiert wird, ergeben sich aus den ${\displaystyle 32}$ Komponenten ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} }$ des Gluonenfeldes und den Strukturkonstanten ergibt sich der Gluonenfeldstärketensor als:^[1][2]

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{c}:=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{c}+g{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}{\mathcal {A}}_{\nu }^{b}f_{ab}^{c}\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} .}$

${\displaystyle g}$ ist dabei eine Kopplungskonstante, welche die Wechselwirkung des Gluonenfeldes mit sich selbst im quadratischen Term skaliert. Nun lassen sich mit den Gell-Mann-Matrizen ${\displaystyle T}$ daraus kombinieren:

${\displaystyle G_{\mu \nu }:=G_{\mu \nu }^{a}T_{a}\colon \mathbb {R} ^{3,1}\rightarrow {\mathfrak {su}}(3);}$

${\displaystyle G^{a}:=G_{\mu \nu }^{a}\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{1,3},\mathbb {R} );}$

${\displaystyle G:=G^{a}T_{a}=G_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }=G_{\mu \nu }^{a}T_{a}\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{1,3},{\mathfrak {su}}(3)).}$

Insbesondere sind also ${\displaystyle G^{a}\in \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{1,3})}$ gewöhnliche Differentialformen und ${\displaystyle G\in \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{1,3},{\mathfrak {su}}(3))}$ Lie-Algebrenwertige Differentialform.

• S. Sarkar; H. Satz; B. Sinha: The Physics of the Quark-Gluon Plasma: Introductory Lectures. Springer, 2009, ISBN 978-3-642-02285-2 (englisch, google.com).
• Keith Ellis: Quantum Chromodynamics. Februar 2005 (englisch, archive.org [PDF]).