Lévy-Verteilung

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\cdot {\frac {1}{(x-\mu )^{3/2}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\gamma }{2(x-\mu )}}\right),\quad x>\mu }$,

mit den beiden Parametern ${\displaystyle \gamma >0}$, ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$.

• ${\displaystyle \mu }$ ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der ${\displaystyle x}$-Achse;
• ${\displaystyle \gamma }$ ist ein Skalenparameter (Stauchung für ${\displaystyle \gamma <1}$; Streckung für ${\displaystyle \gamma >1}$).

Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten ${\displaystyle \gamma =1,\mu =0}$; ihre Dichtefunktion lautet damit:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \cdot x^{3}}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2x}}},\quad x>0}$.

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X}$

(hier mit ${\displaystyle \alpha =1/2}$) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$. Da die Theorie der ${\displaystyle \alpha }$-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{\mu ,\gamma }}$ der Lévy-Verteilung mit Lageparameter ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und Skalenparameter ${\displaystyle \gamma >0}$ kann explizit angegeben werden; bezeichne dazu ${\displaystyle \Phi (z)=\int _{-\infty }^{z}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t}$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, dann gilt

${\displaystyle F_{\mu ,\gamma }(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq \mu ,\\2{\big (}1-\Phi {\big (}{\sqrt {\frac {\gamma }{x-\mu }}}{\big )}{\big )}&{\text{für }}x>\mu .\end{cases}}}$

Sei ${\displaystyle Z}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, dann folgt die Zufallsvariable

${\displaystyle X:=\mu +{\frac {\gamma }{Z^{2}}}}$

der Lévy-Verteilung mit Lageparameter ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und Skalenparameter ${\displaystyle \gamma >0}$.

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\infty }$. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

• Verlauf von Börsenkursen^[1]
• Umpolung des Erdmagnetfeldes^[2]
• Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tönen in Melodien^[3]
• Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche^[4]
• Teilchenbewegungen in turbulenten Strömungen^[5]