Orthogonale Koordinaten

Basisvektoren und metrische Faktoren

Die kovariante Basis sind die Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien im Punkt. Differentialgeometrisch berechnen sich die kovarianten Basisvektoren als Ableitungsfunktion des Ortes ${\displaystyle {\vec {x}}(u_{k})}$ nach der (einen) Koordinate ${\displaystyle u_{k}}$:

${\displaystyle {\vec {g}}_{k}={\frac {\partial {\vec {x}}(u_{k})}{\partial u_{k}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}\,{\hat {e}}_{j}}$

mit Standardbasisvektoren ê_j. Die kovarianten Vektoren haben beliebigen Betrag, sind aber in orthogonalen Systemen paarweise senkrecht zueinander. Die unnormierten Vektoren bilden die natürliche Basis, aus der durch Normierung die normierte Basis entsteht (Einheitsvektoren ĉ mit Hut), die in Abgrenzung zur Standardbasis mit einem c bezeichnet werden:^[1.2]

${\displaystyle {\vec {g}}_{k}=\underbrace {\left|{\vec {g}}_{k}\right|} _{\begin{array}{c}{\mathsf {metrischer}}\\[-1ex]{\mathsf {Faktor}}\end{array}}\underbrace {\frac {{\vec {g}}_{k}}{|{\vec {g}}_{k}|}} _{\begin{array}{c}{\mathsf {Einheits-}}\\[-1ex]{\mathsf {vektor}}\end{array}}=:h_{k}\,{\hat {c}}_{k}}$

mit

${\displaystyle h_{k}}$	metrischer Faktor
${\displaystyle {\hat {c}}_{k}}$	normierter Basisvektor

Die Ableitungen der kovarianten Vektoren weisen die folgende Symmetrie auf:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {g}}_{i}}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {x}}}{\partial u_{i}\,\partial u_{k}}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {x}}}{\partial u_{k}\,\partial u_{i}}}={\frac {\partial {\vec {g}}_{k}}{\partial u_{i}}}}$

was sich auf die unteren Indizes der #Christoffelsymbole überträgt.

Die kontravarianten Basisvektoren entstehen im Allgemeinen gemäß ${\displaystyle {\vec {g}}^{k}=\operatorname {grad} u_{k}}$ aus dem Gradient der Koordinaten,^[1.3] sind im Fall orthogonaler Koordinaten jedoch leicht zu finden, weil sie kollinear zu den kovarianten Vektoren sind, aber eine reziproke Länge haben:

${\displaystyle {\vec {g}}^{k}={\frac {{\hat {c}}_{k}}{h_{k}}}={\frac {{\vec {g}}_{k}}{h_{k}^{2}}}}$

Dies folgt aus der Tatsache, dass die ko- und kontra­varianten Basisvektoren zueinander reziproke Basis­systeme bilden, mit ${\displaystyle {\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {g}}^{k}=\delta _{j}^{k}}$ und dem Kronecker-Delta δ. Zusammengefasst heißt das:

${\displaystyle {\hat {c}}_{k}={\frac {{\vec {g}}_{k}}{h_{k}}}=h_{k}\,{\vec {g}}^{k}={\hat {c}}^{k}\;,\quad {\hat {c}}_{j}\cdot {\hat {c}}_{k}=\delta _{jk}}$

Metrikkoeffizienten und Händigkeit

Die metrischen Faktoren ${\displaystyle h_{k}=|{\vec {g}}_{k}|={\tfrac {1}{|{\vec {g}}^{k}|}}}$ sind per definitionem positiv und hängen mit den Metrik­koeffizienten^[1.4] ${\displaystyle g_{jk}:={\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {g}}_{k},\,g^{jk}:={\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k}}$ wie folgt zusammen:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{jk}&={\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {g}}_{k}=h_{j}{\hat {c}}_{j}\cdot h_{k}{\hat {c}}_{k}=h_{j}\,h_{k}\,\delta _{jk}\\g^{jk}&={\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k}={\frac {{\hat {c}}_{j}}{h_{j}}}\cdot {\frac {{\hat {c}}_{k}}{h_{k}}}={\frac {\delta _{jk}}{h_{j}\,h_{k}}}\end{aligned}}}$

Das ist bedeutsam für die #Christoffelsymbole. Für j≠k verschwinden die Metrikkoeffizienten und für j＝k ergibt sich^[1.5]

${\displaystyle h_{k}=|{\vec {g}}_{k}|={\sqrt {g_{kk}}}\;,\quad \left|{\vec {g}}^{k}\right|={\sqrt {g^{kk}}}={\frac {1}{|{\vec {g}}_{k}|}}={\frac {1}{h_{k}}}}$

Werden die kovarianten Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {g}}_{j}=\sum _{i}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u_{j}}}{\hat {e}}_{i}}$ mittels der Standardbasis­vektoren ê_i und des dyadischen Produkts „⊗“ Spaltenweise in eine Matrix eingetragen, entsteht eine Jacobi-Matrix

g ＝ ${\displaystyle \sum _{j}{\vec {g}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}=\sum _{i,j}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u_{j}}}\,{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}$

Das System ist rechtshändig, wenn die Determinante dieser Matrix

g :＝ |g|

positiv ist, was im allgemeinen nur in bestimmten Wertebereichen der Koordinaten der Fall ist, so wie im #Beispiel Kugelkoordinaten unten. Der Betrag der Determinante ist jedenfalls gleich dem Produkt der metrischen Faktoren:

|g| ＝ h₁ h₂ h₃… ＝: ∏_k h_k

In drei Dimensionen ist die Determinante gleich dem Spatprodukt der Basisvektoren:

${\displaystyle g={\vec {g}}_{1}\cdot ({\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3})=\sum _{i,j,k=1}^{3}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u_{1}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{2}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial u_{3}}}\,{\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})}$

ausgeschrieben

${\displaystyle {\begin{aligned}g=&{\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{1}}}\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{2}}}{\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{2}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{3}}}\right)+{\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{1}}}\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{2}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{2}}}{\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{3}}}\right)\\&+{\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{1}}}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{2}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{2}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{3}}}\right)\end{aligned}}}$

Wenn diese Summe positiv ist, ist das System rechtshändig.

Koeffizienten von Vektoren

Es gibt demnach drei verschiedenen Basissätze, die sich zur Darstellung von Vektoren in orthogonalen Koordinaten anbieten: die kovariante Basis ${\displaystyle {\vec {g}}_{k}}$, die kontravariante Basis ${\displaystyle {\vec {g}}^{k}}$ und die normierte Basis ${\displaystyle {\hat {c}}_{k}}$, die alle kollinear sind aber verschiedene Längen haben können. Während ein Vektor eine objektive Größe ist, was bedeutet, dass seine Identität unabhängig von einem Koordinatensystem ist, hängen die Koeffizienten eines Vektors davon ab, in welcher Basis der Vektor dargestellt wird. Die Stellung des Index reflektiert das verwendete Basissystem:

${\displaystyle {\vec {v}}=\sum _{k}v^{k}{\vec {g}}_{k}=\sum _{k}v_{k}{\vec {g}}^{k}}$

wo obere Indizes nicht mit Potenzierung verwechselt werden dürfen. Die Position der Indizes gibt an, wie die Koeffizienten berechnet werden:

${\displaystyle v_{k}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}^{k},\quad v^{k}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{k}}$

Es gibt keine eindeutige, weit verbreitete Notation für Koeffizienten in Bezug auf die normierte Basis; hier soll der Buchstabe f benutzt werden:

${\displaystyle {\vec {v}}=\sum _{k}f_{k}{\vec {c}}_{k}=\sum _{k}h_{k}v^{k}{\hat {c}}_{k}=\sum _{k}{\frac {v_{k}}{h_{k}}}{\hat {c}}_{k},\quad f_{k}=h_{k}v^{k}={\frac {v_{k}}{h_{k}}}}$

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum mit kartesischen Koordinaten ist die Summe der Produkte der Koeffizienten der beteiligten Vektoren. In orthogonalen Koordinaten nimmt das Skalarprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und ${\displaystyle {\vec {y}}}$ diese bekannte Form an, wenn – wie üblich – die #normierte Basis zur Darstellung der Vektoren benutzt wird:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\left(\sum _{j}x_{j}{\hat {c}}_{j}\right)\cdot \left(\sum _{k}y_{k}{\hat {c}}_{k}\right)=\sum _{j,k}x_{j}\,y_{k}\,\delta _{jk}=\sum _{j}x_{j}\,y_{j}}$

wo δ das Kronecker-Symbol darstellt.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt in kartesischen 3D-Koordinaten mit Standardbasis ê_1,2,3 lautet:

${\displaystyle {\vec {x}}\times {\vec {y}}=(x_{2}\,y_{3}-x_{3}\,y_{2}){\hat {e}}_{1}+(x_{3}\,y_{1}-x_{1}\,y_{3}){\hat {e}}_{2}+(x_{1}\,y_{2}-x_{2}\,y_{1}){\hat {e}}_{3}}$

Die obige Formel hat analoge Gestalt in orthogonalen Koordinaten, wenn sie ein Rechtssystem bilden, was hier vorausgesetzt wird, und – wie üblich – die #normierte Basis ${\displaystyle {\hat {c}}_{1,2,3}}$ zur Darstellung der Vektoren benutzt wird. Mit dem Permutationssymbol ϵ gilt wie in kartesischen Koordinaten:

${\displaystyle {\hat {c}}_{i}\times {\hat {c}}_{j}=\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\,{\hat {c}}_{k}}$

insbesondere:

${\displaystyle {\hat {c}}_{1}\times {\hat {c}}_{2}={\hat {c}}_{3},\quad {\hat {c}}_{2}\times {\hat {c}}_{3}={\hat {c}}_{1},\quad {\hat {c}}_{3}\times {\hat {c}}_{1}={\hat {c}}_{2}}$

Damit schreibt sich das Kreuzprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}\,{\hat {c}}_{i},\;{\vec {y}}=\sum _{j=1}^{3}y_{j}\,{\hat {c}}_{j}}$ als:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {x}}\times {\vec {y}}=&\sum _{i,j=1}^{3}x_{i}\,y_{j}\,{\hat {c}}_{i}\times {\hat {c}}_{j}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\,x_{i}\,y_{j}\,{\hat {c}}_{k}\\=&(x_{2}\,y_{3}-x_{3}\,y_{2}){\hat {c}}_{1}+(x_{3}\,y_{1}-x_{1}\,y_{3}){\hat {c}}_{2}+(x_{1}\,y_{2}-x_{2}\,y_{1}){\hat {c}}_{3}\end{aligned}}}$

Christoffelsymbole

Mit den Christoffelsymbolen werden in jedem Raumpunkt die Änderungen der Grundvektoren beim Fortschreiten in Richtung der Koordinatenlinien ausgedrückt:^[1.6]

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}:={\vec {g}}_{i,j}\cdot {\vec {g}}^{k}={\frac {1}{h_{k}^{2}}}{\vec {g}}_{i,j}\cdot {\vec {g}}_{k}={\frac {1}{h_{k}^{2}}}{\vec {x}}_{,ij}\cdot {\vec {x}}_{,k}}$

Sie weisen, wie bereits im Abschnitt #Basisvektoren und metrische Faktoren angekündigt, eine Symmetrie in den unteren Indizes auf

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$

Die Christoffelsymbole können mit den Metrikkoeffizienten ausgedrückt werden:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{p}g^{kp}(g_{ip,j}+g_{jp,i}-g_{ij,p})}$

Beweis

Die Metrikkoeffizienten gij haben die Eigenschaft ${\displaystyle \textstyle {{\vec {g}}^{i}=\sum _{j}g^{ij}{\vec {g}}_{j}}}$ und so berechnet sich: ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\sum _{p}g^{kp}(g_{ip,j}+g_{jp,i}-g_{ij,p})\\&={\frac {1}{2}}\sum _{p}g^{kp}[{\vec {g}}_{i,j}\cdot {\vec {g}}_{p}+{\color {purple}{\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{p,j}}+{\vec {g}}_{j,i}\cdot {\vec {g}}_{p}+{\color {blue}{\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {g}}_{p,i}-{\vec {g}}_{i,p}\cdot {\vec {g}}_{j}}-{\color {purple}{\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j,p}}]\\&={\vec {g}}_{i,j}\cdot {\vec {g}}^{k}=:\Gamma _{ij}^{k}\end{aligned}}}$

Das gilt allgemein für Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten. In den orthogonalen Koordinaten hier vereinfacht sich das wegen ${\displaystyle g^{kp}={\tfrac {\delta ^{kp}}{h_{k}\,h_{p}}},\;g_{ik}=\delta _{ik}\,h_{i}\,h_{k}}$, siehe oben zu:^[1.7]

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {\delta _{ik}\,h_{i}\,h_{k,j}+\delta _{jk}\,h_{j}\,h_{k,i}-\delta _{ij}\,h_{i}\,h_{j,k}}{h_{k}^{2}}}}$

womit die Christoffelsymbole auf die metrischen Faktoren und ihre Ableitungen zurück geführt sind.

Es gibt vier Fälle zu unterscheiden (Mengenangaben beziehen sich auf drei Dimensionen):^[1.6]

i≠j≠k≠i entsprechend δ_ij＝δ_ik＝δ_jk＝0

Sechs Symbole ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=0}$

i≠j und entweder k=i oder k=j entsprechend δ_ij＝0 und entweder δ_ik＝1 oder δ_jk＝1

Zwölf Symbole ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}=\Gamma _{ji}^{i}={\frac {h_{i,j}}{h_{i}}}}$

i＝j≠k entsprechend δ_ij＝1 und δ_ik＝δ_jk＝0

Sechs Symbole ${\displaystyle \Gamma _{ii}^{k}=-{\frac {h_{i}\,h_{i,k}}{h_{k}^{2}}}}$

i＝j＝k entsprechend δ_ij＝δ_ik＝δ_jk＝1

Drei Symbole ${\displaystyle \Gamma _{ii}^{i}={\frac {h_{i,i}}{h_{i}}}}$. Dieser Fall kann mit dem zweiten zusammen gelegt werden.

Erste Ableitungen

Die ersten Ableitungen der natürlichen Basisvektoren berechnen sich direkt mit den #Christoffelsymbolen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {g}}_{i,j}=&\sum _{k}(g_{i,j}\cdot {\vec {g}}^{k})\,{\vec {g}}_{k}=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}\,h_{k}\,{\hat {c}}_{k}\\=&\sum _{k}{\frac {\delta _{ik}\,h_{i}\,h_{k,j}+\delta _{jk}\,h_{j}\,h_{k,i}-\delta _{ij}\,h_{i}\,h_{j,k}}{h_{k}^{2}}}\,h_{k}\,{\hat {c}}_{k}\\=&h_{i,j}\,{\vec {c}}_{i}+h_{j,i}\,{\vec {c}}_{j}-\delta _{ij}\,h_{i}\,\sum _{k}{\frac {h_{j,k}}{h_{k}}}\,{\vec {c}}_{k}\end{aligned}}}$

Gleichzeitig ist auch

${\displaystyle {\begin{array}{lccl}&{\vec {g}}_{i,j}&=&\displaystyle {h_{i,j}\,c_{i}+h_{i}\,c_{i,j}=h_{i,j}\,{\vec {c}}_{i}+h_{j,i}\,{\vec {c}}_{j}-\delta _{ij}\,h_{i}\,\sum _{k}{\frac {h_{j,k}}{h_{k}}}\,{\vec {c}}_{k}}\\\rightarrow &c_{i,j}&=&\displaystyle {{\frac {h_{j,i}}{h_{i}}}\,{\vec {c}}_{j}-\delta _{ij}\,\sum _{k}{\frac {h_{j,k}}{h_{k}}}\,{\vec {c}}_{k}}\end{array}}}$

speziell:

${\displaystyle {\hat {c}}_{i,i}=-\sum _{k,k\neq i}{\frac {h_{i,k}}{h_{k}}}\,{\hat {c}}_{k},\quad i\neq j\;\rightarrow \;{\hat {c}}_{i,j}={\frac {h_{j,i}}{h_{i}}}{\hat {c}}_{j}}$

Die normierten Basisvektoren erfüllen die Orthogonalitätsbedingungen

${\displaystyle {\hat {c}}_{i}\cdot {\hat {c}}_{j}=\delta _{ij}\quad \rightarrow \quad ({\hat {c}}_{i}\cdot {\hat {c}}_{j})_{,k}={\hat {c}}_{i,k}\cdot {\hat {c}}_{j}+{\hat {c}}_{i}\cdot {\hat {c}}_{j,k}=\delta _{ij,k}=0}$

Insbesondere sind sämtliche Ableitungen eines Basisvektors senkrecht zu diesem: ${\displaystyle {\hat {c}}_{i}\cdot {\hat {c}}_{i,k}=0}$.

Zweite Ableitungen

Ableitung von ${\displaystyle \textstyle {\hat {c}}_{i,j}={\frac {h_{j,i}}{h_{i}}}{\hat {c}}_{j}-\delta _{ij}\,\sum _{l}{\frac {h_{j,l}}{h_{l}}}\,{\hat {c}}_{l}}$ nach u_k ergibt

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {c}}_{i,jk}=&\left({\frac {h_{j,ik}}{h_{i}}}-{\frac {h_{j,i}\,h_{i,k}}{h_{i}^{2}}}\right)\,{\hat {c}}_{j}+\left({\frac {h_{k,j}\,h_{j,i}}{h_{i}\,h_{j}}}-\delta _{ij}\,\sum _{l}{\frac {h_{j,l}\,h_{k,l}}{h_{l}^{2}}}\right)\,{\hat {c}}_{k}\\&+\sum _{l}\left(\delta _{ij}\,\left({\frac {h_{j,l}\,h_{l,k}}{h_{l}^{2}}}-{\frac {h_{j,lk}}{h_{l}}}+{\frac {h_{j,k}\,h_{k,l}}{h_{k}\,h_{l}}}\right)-\delta _{jk}\,{\frac {h_{j,i}\,h_{k,l}}{h_{i}\,h_{l}}}\right)\,{\hat {c}}_{l}\end{aligned}}}$

Das spezialisiert sich bei i,k＝j zu:

${\displaystyle {\hat {c}}_{i,ii}=\sum _{p,p\neq i}{\frac {1}{h_{p}^{2}}}\left((h_{i,p}\,h_{p,i}-h_{p}\,h_{i,ip})\,{\hat {c}}_{p}-h_{i,p}^{2}\,{\hat {c}}_{i}\right)}$,

und bei i,k≠j zu:

${\displaystyle {\hat {c}}_{i,jk}={\frac {h_{j,ki}\,h_{i}-h_{j,i}\,h_{i,k}}{h_{i}^{2}}}\,{\hat {c}}_{j}+{\frac {h_{k,j}\,h_{j,i}}{h_{i}\,h_{j}}}\,{\hat {c}}_{k}}$

Andererseits ist auch:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {c}}_{i,ij}=&{\frac {h_{i,j}\,h_{j,i}}{h_{i}\,h_{j}}}\,{\hat {c}}_{i}+{\frac {h_{i,j}\,h_{j,j}-h_{i,jj}\,h_{j}}{h_{j}^{2}}}\,{\hat {c}}_{j}\\&+\sum _{l,l\neq i,j}\left(\left({\frac {h_{i,l}\,h_{l,j}-h_{i,jl}\,h_{l}}{h_{l}^{2}}}+{\frac {h_{i,j}\,h_{j,l}}{h_{j}\,h_{l}}}\right)\,{\hat {c}}_{l}-{\frac {h_{j,l}\,h_{i,l}}{h_{l}^{2}}}\,{\hat {c}}_{j}\right)\\i,j\neq k\rightarrow {\hat {c}}_{i,kj}=&{\frac {h_{k,ji}\,h_{i}-h_{k,i}\,h_{i,j}}{h_{i}^{2}}}\,{\hat {c}}_{k}+{\frac {h_{j,k}\,h_{k,i}}{h_{i}\,h_{k}}}\,{\hat {c}}_{j}\end{aligned}}}$

Nach dem Satz von Schwarz ist ĉ_i,ij ＝ ĉ_i,ji. In dieser Gleichung trägt die i-Komponente nichts bei und die j-Komponente zeigt

${\displaystyle i\neq j\;\rightarrow \quad {\frac {h_{i,jj}\,h_{j}-h_{i,j}\,h_{j,j}}{h_{j}^{2}}}+{\frac {h_{j,ii}\,h_{i}-h_{j,i}\,h_{i,i}}{h_{i}^{2}}}+\sum _{l,l\neq i,j}{\frac {h_{j,l}\,h_{i,l}}{h_{l}^{2}}}=0}$

In zwei Dimensionen entfällt die Summe über l:

${\displaystyle i\neq j\;\rightarrow \quad {\frac {h_{i,jj}}{h_{j}}}+{\frac {h_{j,ii}}{h_{i}}}={\frac {h_{i,j}\,h_{j,j}}{h_{j}^{2}}}+{\frac {h_{j,i}\,h_{i,i}}{h_{i}^{2}}}}$

und in drei Dimensionen gibt es für l nur einen möglichen Wert:

${\displaystyle i\neq j\neq k\neq i\;\rightarrow \quad {\frac {h_{i,jj}}{h_{j}}}+{\frac {h_{j,ii}}{h_{i}}}={\frac {h_{i,j}\,h_{j,j}}{h_{j}^{2}}}+{\frac {h_{j,i}\,h_{i,i}}{h_{i}^{2}}}-{\frac {h_{j,k}\,h_{i,k}}{h_{k}^{2}}}}$

Die l-Komponenten für l≠i,j genauso wie ĉ_i,jk＝ĉ_i,kj implizieren in drei und mehr Dimensionen

${\displaystyle i\neq j\neq k\neq i\;\rightarrow \quad h_{i,jk}={\frac {h_{i,j}\,h_{j,k}}{h_{j}}}+{\frac {h_{i,k}\,h_{k,j}}{h_{k}}}}$

Nabla-Operator

Der Nabla-Operator lautet in krummlinigen Koordinaten:^[1.8]

${\displaystyle \nabla =\sum _{k}{\vec {g}}^{k}{\frac {\partial }{\partial u_{k}}}=\sum _{k}{\frac {{\vec {c}}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial }{\partial u_{k}}}}$

siehe #Basisvektoren und metrische Faktoren. Mit ihm können beispielsweise #Differentialoperatoren dargestellt werden.

Weg-, Flächen- und Volumenelemente

Die metrischen Faktoren sind die Beträge der natürlichen Basisvektoren, die sich aus Ableitungsfunktionen des Ortes nach einer Koordinate berechnen:^[1.9]

${\displaystyle {\vec {r}}=\sum _{j}x_{j}{\hat {e}}_{j}\;\rightarrow \quad {\vec {g}}_{k}:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\hat {e}}_{j}}$

mit Standardbasis ê_1,2,…. Daraus leiten sich die metrischen Faktoren ab:^[1.10]

${\displaystyle h_{k}:={\sqrt {{\vec {g}}_{k}\cdot {\vec {g}}_{k}}}={\sqrt {\sum _{j}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}\right)^{2}}}}$

Für die Berechnung von Kurven-, Flächen- oder Volumenintegralen werden gebraucht:^[1.11]

Weg­element	${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{k}h_{k}\,{\hat {c}}_{k}\,\mathrm {d} u_{k}}$
Flächen­element	${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}_{ij}=h_{i}\,h_{j}\,{\hat {c}}_{k}\,\mathrm {d} u_{i}\,\mathrm {d} u_{j}}$ mit zyklischen Werten ${\displaystyle i,j,k}$
Volumen­element	${\displaystyle \mathrm {d} v=h\,\prod _{i}\mathrm {d} u_{i}}$

Darin ist ${\displaystyle h=\prod _{i}h_{i}}$ das Volumen des von den natürlichen Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {g}}_{i}=h_{i}\,{\hat {c}}_{i}}$ aufgespannten Quaders.

Ableitung des Volumens

Das Volumen des von den natürlichen Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {g}}_{i}=h_{i}\,{\hat {c}}_{i}}$ aufgespannten Quaders ist das Produkt der metrischen Faktoren:

${\displaystyle h:=h_{1}\,h_{2}\,\ldots =:\prod _{i}h_{i}}$

Die #Kanonische Form der Differentialoperatoren enthält die Ableitungen dieses Volumens nach einer Koordinate, eine Ableitung, die nach der Produktregel erfolgt. Dazu wird nacheinander im Produkt einer der Faktoren abgeleitet und die Summe der Ergebnisse gebildet. In jedem Summand wird im Volumen h ein metrischer Faktor h_k durch seine Ableitung ${\displaystyle h_{k,j}:={\tfrac {\partial h_{k}}{\partial u_{j}}}}$ ersetzt, was durch Division von h durch h_k und Multiplikation mit h_k,j dargestellt werden kann:

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial u_{j}}}=\sum _{k}{\frac {h}{h_{k}}}\,h_{k,j}=h\,\sum _{k}{\frac {h_{k,j}}{h_{k}}}}$

In zwei Dimensionen ist beispielsweise ${\displaystyle h=h_{1}\,h_{2}}$ und

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial u_{j}}}=&{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}(h_{1}\,h_{2})=h_{1,j}\,h_{2}+h_{1}\,h_{2,j}\\=&h_{1}\,h_{2}\,{\frac {h_{1,j}}{h_{1}}}+h_{1}\,h_{2}\,{\frac {h_{2,j}}{h_{2}}}\\=&h\,\left({\frac {h_{1,j}}{h_{1}}}+{\frac {h_{2,j}}{h_{2}}}\right)\end{aligned}}}$

was der obigen Formel in zwei Dimensionen entspricht.

Differentialoperatoren

In Feldgleichungen der Kontinuumsmechanik oder des Elektromagnetismus kommen gelegentlich der Differentialoperator Gradient sowie der Laplace-Operator, die Divergenz- und die Rotation eines Vektorfeldes vor. Sie stellen Kombinationen der Ableitungen eines Vektorfeldes nach dem Ort dar.

Im folgenden werden die aus dem Abschnitt #Ableitungen der Basisvektoren bekannten Rechenregeln und Schreibweisen benutzt.